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Hierin ist beispielsweise 



wo a, ß, Y, . . . Zahlencoefficienten sind, die sich bei der Entwicl<lung von 5, ergeben. 



Nun ist bei der Darstellung der P^unction S, die Gruppenzahl r gar nicht in Betracht gekommen. Die- 

 selbe wird deshalb auch, so lange r unbestimmt gelassen oder beliebig hoch gedacht wird, von dieser 

 Zahl unabhängig sein müssen, d. h., die Zahlen % ß, •/,... sind constante Grössen, welches auch 

 der Werth von r se in mag. 



Nun enthalten, wie die Formeln (6) zeigen, mit Ausnahme der ersten sämmtliche Productcombinationen 

 der Entwicklung (5) zweiförmige, dreiförmige, ..., (;',+;72). förmige Elementarlunctionen, die sämmtlich, 

 wie auch die /-förmige Function S,- selbst, identisch verschwinden, wenn die Gruppenzahl r = 1 wird. 



Da für diesen Fall aber die Combination Ap:=z 1 wird, so folgt, dass in jeder mehrförmigen Function 

 Si, wo / > 1 ist, der Coefticient a = sein muss. 



Für r = 2 und / > 2 verschwinden mit S, ebenfalls sämmtliche Glieder von (5), in denen dreiförmige 

 und höhere Elementarfunctionen enthalten sind. Das .■^iggregat der übrig bleibenden Glieder ist alsdann 

 von der Form 



Da hierin die Coefficienten ß, 7, ... constante Zahlen sind, die durch die Entwicklung (.')) von 5, 

 bestimmt sind, so kann dasselbe im.^llgemeinen nicht illusorisch werden und stellt daher eine identische 

 Relation zwischen den Elementar functionen iZ,(72i:7,/r|2i7,^.^ zweier Gruppen ,r|_r,, .r^,!'.^ dar. Nun 

 besteht zwischen den letzteren nur eine Relation vom Grad 3 und dem Gewicht 4; 



II22 = a\a.^., + ala^^+d\^~a^a^a^^—Aa^^i^^, (8) 



daher ist das Aggregat (7) allgemein von der F"orm: 



II^',yl;,_4^, +IIJ5 .V-4., + . . . =0, 



wo diu Functionen A Productcombinationen von Elementarfunctionen von dem beigefügten Gewicht 

 bezeichnen. 



Ist / > 3, so ergibt sich ebenso für r = 3 aus der Darstellung (5) eine identische Relation oder eine 

 Combination von solchen für drei Gruppen x^y^, x.j,y.^. .Vgj'.,, für r = 4 eine solche für vier Gruppen etc. 

 Allgemein stellt die rechte .Seite der Identität (o) für ;- = /— 1, / — 2, . . ., 3, 2 eine identische Relation vom 

 Gewicht /' und dem Grad /' — 1 (oder eine Combination von solchen) zwischen den Elementarfunctionen 

 von / — 1, / — 2, ..., 3, 2 Gruppen dar. 



Aus diesen Überlegungen geht weiter hervor, dass im Allgemeinen ausser a kein Coefficient von (5) 

 Null ist. Somit ergibt sich hiebei der Satz: 



Jede zweireihige /-förmige Functitm 



von den Gewichtszahlen y, und y^ iässt sich als ganze F"unction der Elementarfunc- 

 tionen vom Grad/) — 1 = /?, -4-;'.^- -1 darstellen. 



Eine Ausnahme hievon machen nui' diejenigen zweireihigen Functionen, welche in Bezug aut eine 

 der Reihen x^x.^. . .Xy oder r,!^ . . .,v, linear sind oder für welche /', oder /;,^ gleich 1 ist. Eine solche 



