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bezw. 



wo X, |J., bezw. a, ß, ■(, Zahlencoefficienten bezeichnen, die für die verschiedenen Arten der vierförmigen 

 Functionen dieser Tabellen verschiedene Werthe annehmen. 



Die dreiförmigen Functionen dieser Tabellen endlich ergeben für ;- =: 2 gewisse Combinationen der 

 Relation IIjj ^ mit symmetrischen Functionen. 



Damit ist gezeigt, wie die Tabellen/) der zweireihigen symmetrischen Functionen zur Ermittlung 

 der Relationen zwischen den Elementarfunctionen derselben dienen können. 



Weiter unten werden wir zeigen, wie wir, von einer einzigen bekannten (niedrigsten) 

 Relation für irgend welche Gruppenzahl ausgehend, direct zu allen weiteren Relationen 

 desselben Grades, aber verschiedenen Gewichtes gelangen können. 



2. Da eine einförmige Function, z. B. a,j.,% als eine Summe von r-Grössen 



für keinen VVerth von r Null werden kann, während dies für 5, für jeden Werth von r< /' der Fall 

 ist, so stellt die rechte Seite der Gleichung (3) 



S(, + S9(,_i + S3I,_2+... 

 gleich Null gesetzt, für 



r— i—\. /— 2, /— 3 3, 2, 1 



Gruppen eine identische Relation vom Grad / und dem Gewicht p zwischen den einförmigen Func- 

 tionen a dar. Diese Relationen können am einfachsten für jede Gruppenzahl aus den Tabellen dj und bj 

 entnommen werden. 



Für r = 1 wird jede einförmige Function gleich 1, daher muss die algebraische Summe der Zahlen- 

 coefficienten jeder Zeile (ausgenommen der ersten) der Tabellen cO (und b) verschwinden. 



3. Jeder / - 1 h e i 1 i g e n symmetrischen Function 



lässt sich das Product von /-einförmigen Functionen 

 bezw. von /-Elementarfunctionen 



dessen Factoren mit den /-Theilfunctionen von S, isobar sind, eindeutig zuweisen und 

 umgekehrt. Infolge dieser Beziehung gilt der Satz: 



Die Anzahl aller Isobaren symmetrischen Functionen von den Reihengewich tszahlcn 

 /', und /^j ist gleich der .Anzahl aller Isobaren Produc tcombinatio n en von einförmigen oder 

 elementaren Functionen von denselben Gewichtszahlen y, und i\. 



Man kann deshalb die Isobaren symmetrischen Functionen von irgend welchen Gewichtszahlen in vier 

 Tabellen cj, d), e), f) zusammenstellen, in denen einerseits die Isobaren Productcomhinationen von einför- 

 migen, bezw. elementaren Functionen durch isobare symmetrische Functionen und umgekehrt dargestellt 

 sind. In denselben sind die Combinationen der einförmigen und elementaren Functionen genau in derselben 

 Weise eingetragen worden, wie in den Tabellen a) und b). Infolge der oben angegebenen eindeutigen 

 Beziehung von Productcomhinationen und symmetrischen Functionen ist dann auch der Weg gezeigt, wie 

 letztere in dieselbe einzuordnen sind. In den Tabellen c) und e), bezw. d) und f), sind von links nach 

 rechts, bezw. von oben nach unten die einförmigen, zweiförmigen,... (y>,4-7\)-förmigen Functionen unge- 



