Die sviiiiiic/r. Fuiictinueii der gemeinsch. Variablcnpaare tcrucirer Formen. 455 



schrieben worden, welche der Reihe nacl: den Productcombinationen von einförmigen und elementaren 

 Functionen vom Grad 1, 2, 3,. . . (l\+l\) in diesen Tabellen (von rechts nach links, bezvv. xon unten nach 

 oben) entsprechen. 



Wie die Coefficienten der Tabellen c) und d) in einfacher Weise eingeschrieben werden können, ist 

 schon in §. 4 besp'-ochen worden. Ist dies geschehen, so berechnet man die Tabellen e) und f) wohl am 

 einfachsten Zeile für Zeile mit Hilfe der Tabellen a) und c), bezw. b) und d). 



Von denselben sind meines Wissens die Tabellen c) und dj noch nicht aufgestellt worden und von den 

 Tabellen e) und/j nur diejenigen, welche den symmetrischen Functionen der Wurzeln einer algebraischen 

 Gleichung entsprechen. Derartige Tabellen für einreihige Functionen haben zuerst Vandermonde* und 

 später Meyer Hirsch** berechnet. Dieselben sind von Herrn Cayley*** bis zum Gewicht 10 reproducirt 

 und mit den Umkehrungen (ej derselben versehen worden. Vermehrt wurden diese Tabellen durch Herrn 

 Walter f, der zu den Tabellen f) vorn Gewicht 10 eine solche vom Gewicht 11 hinzugefügt hat und 

 gleichzeitig vom Herrn Rehofovsky ff , der die einreihigen Functionen vom Gewicht 11 und \2 in zwei 

 Tabellen zusammengestellt hat. Im Gebiet der zweireihigen Functionen hat Herr Macmahon fff die sym- 

 metrischen P'unctionen bis zum Gewicht 4 durch Elementarfunctionen und umgekehrt dargestellt. 



4. Die Tabellen e) und fj, durch welche die ternären symmetrischen Functionen durch Product- 

 combinationen der Elementarfunctionen und umgekehrt ausgedrückt sind, haben einige bemerkenswerthe 

 Eigenschaften, die wir in den übrigen Tabellen nicht finden. 



a) Der Coefficient in der '/."^" Colon ne und X"^" Zeile dieser Tabellen ist gleich dem Coef- 

 ficienten der X"=" Colonne in der x'^" Zeile. 



Diese Eigenschaft rührt davon her, dass der Coefficient einer symmetrischen Function 



einer Tabelle eJ in der Entwicklung des Productes a..,,).,a,..),. . • • gleich ist dem Coefficienten der ent- 

 sprechenden Function 



in der Entwicklung des Productes tZa.ßao..^.,. . .. 



Ebenso ist in den Tabellen/^) der Coefficient einer Productcomhination (7.^,), a„.,).. . . . in der Entwicklung 

 der Function 



'Lx^^^y\^x%^y^^.... 



gleich dem Coefficienten der entsprechenden Combination 0^,3,««,.?., ■ • • in der Entwicklung der Function 



V ,.X, ,,>., v^-« ir>.. 



In Folge dieser Eigenschaft lassen sich die Coefficienten in den Tabellen e) undf) symmetrisch zu 

 einer Diagonale der Tabellen anordnen, welche von links unten nach rechts oben geht. Die in dieser 

 Diagonale stehenden Coefficienten entsprechen sich selbst. 



In Folge dieser Eigenschaft genügt es, nur die Hälfte der Coefficienten jeder Tabelle zu berechnen, 

 um dieselbe anschreiben zu können. 



Werden die Coefficienten in den Colonnen oder Zeilen der Tabellen 6^A bezw./), mit den 

 entsprechenden Coefficienten in der Entwicklung der Function S .r {''_>'','= durch Elementar- 

 functionen, bezw. des Products aj'uj.^'^ durch sj'mmetrische Functionen multiplicirt, so ist 

 die algebraische Summe der erhaltenen Producte für jede Colonne oder Zeile gleich Null. 



* Vandermonde, Hist. de l'Acad. de Paris 1771. 

 ** Meyer Hirsch, Sammlung von Aufgaben aus der Theorie der algebraischen Gleichungen. BerHn 1809. 

 *** Cayley, Memoir on the Symmetrie functions. Philos. Transact. 1857, p. 489. 



t Faä di Bruno, übersetzt von Dr. Th. Wal t er. Leipzig 1881. 

 tt Rehofovsky, Tafeln der symmetrischen Functionen vom Gewicht 11 und 12. Denl<schriften der kais. Akad, Wien 1882. 

 fif Macmahon, Memoir on the Symmetrie functions etc. Philos. Transact. 1890, p. 326 ff. 



