Die syiiniictr. Fuuctioucu der i^cuuiiisch. VariablciipiUuc Iciiüivev Foruicu. 457 



/ , g^ — '^'l-^'i J i ■''2 ->-i ■ • • ■ ^^ ■'i—^ \ J i ■'^z _i2 ■ • • -r • ■• (,^; 



von den Reihengevvichtszahlen ;', — !. p-^ über, während die rechte Seite der Gleichung (Ij die Gestalt 

 annimmt: 



, „8>1, , „8.4, , V8^= 



wo beispielsweise 



.4 ^ , /8^ 8^ ^ ^ ^J^A iA iA \ 



^-^('■-'H,8^^'^8^^)+^''-2)(8^-u+3^^;;-.+ 3^-.j+-.. (4) 



ist. 



Sind die Darstellungen der symmetrischen Functionen (2) vom Gewichte p^ — l,;'^ bekannt, so erhalten 

 wir durch Vergleichen mit (3) eine Anzahl von linearen Gleichungen für K^X^. . .a^, aus denen sich dieselben 

 im Allgemeinen ohne Schwierigkeiten ermitteln lassen. Da in diese Gleichungen in Folge der Operationen 

 (4) die Gruppenzahl r linear eintritt, von welcher die Coefficienten X bekanntlich unabhängig sein müssen, 

 so muss jede derselben in zwei neue Gleichungen zerfallen, indem der Coefficient von r und damit auch 

 der übrige Theil jeder Gleichung verschwinden muss. In vielen Fällen ist es jedoch zweckmässiger, die 

 Gruppenzahl r in jenen Gleichungen zu lassen und diese Grösse gleich 0, 1, 2,. . . zu setzen, wobei sich 

 ebenfalls die Zahlen XjX^. . .a^ ermitteln lassen. 



Sind beispielsweise die Functionen vom Gewicht p^ = 3, p^ = 1 zu berechnen, so setze man 



J z=2_ Cr, r) = a«-'(T., + ßcr^;,2 + T'Ji'\an H-5'',^'u2 + 3"2",,, +^'',,«i2 + r>"i,,2, 



dann geht dieselbe nach einmaliger .Anwendung der Operation A.i^ über in: 



2_,gJ = ^?^2|3ar+(r-l)(ß + Y)i + ,/, ß,^ .|2ßr+s(r~r) + 3(r— 2)} 



+ a^a^^ j-fr+6(r— l) + s(r— 2); +a^^^ |o;-+f>(r-3); . 

 Ist nun ./ eine der 7 Functionen vom Gewichte/', == 3, p^ =1, z. B. 7 = i^.vjj', zu bilden, so ist 



Durch Coefücientenvergleichung ergeben sich alsdann die vier Gleichungen- ^ 



3 = 3ar+(ß + Y)(r-l) 

 — 3 = 2?r + 4(r- 1) + S(r— 2) 

 -3 = Yr + |(r— D + sfr— 2) 



3 = o;-+p(r — 3), 



die nach dem, was wir oben gesagt haben, selbst wieder je in zwei weitere Gleichungen: 



3a+^ + -f — 0, ß4-7 + 3 =0. 



2ß + 6 + 5 =0, 23 + ^—3 = 0, 



■i + i + z =0, j + 2s— 3 = 0, 



3 + .0 =0, p+1 =0 



zerfallen müssen, aus denen wir direct 



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