Die syuiiHtir. Fiinctioucu der geiueiusch. Wiriüblciiihiarc tcnuircr Foniitii. 4H1 



3. Eine weitere sehr wichtige Anwendung finden die Processe A'^ und A" bei der Bildung der Rela- 

 tionen zwischen den elementaren oder einförmigen Functionen einer endlichen Anzahl von Gruppen x^y^, 



I s t n ä m 1 i c h 



Rr,P. = 



eine identische Relation zwischen den Elementarfun ction en von /'Gruppen vom Gewicht 

 ;i|, bezw. p^ in Bezug auf die Reihen x^x^ . . . x,, hezw. y^y.^ ■ ■ ■ y,, so gewinnt man hieraus 

 nach wiederholter Anwendung von A' die weiteren Relationen 



und ebenso umgekehrt mit Hilfe von A'; die Relationen: 



^I', + h l'-i = 0- -^^,+2. iu-2 = 



welche sämmtlich den gleichen Grad und das gleiche Totalgewicht l\+P2- aber ver- 

 schiedene Reihengewichtszahlen besitzen. 

 So erhalten wir beispielsweise aus der Relation 



III,, = 

 vom Gewicht 6 für drei Gruppen mit Hilfe der Operation A', der Reihe nach die weiteren Relationen 



III3., zz. 0, IIIj^ = 0, 



die wir in §. 6 kennen gelernt haben. 



Zum Schluss möge auch noch ein \'erfahren angegeben werden, mittelst dessen sämmtliche 

 Relationen gleichen Grades, aber verschiedenen Gewichtes aus einer einzigen bekannten 

 Relation hergeleitet werden können. 



In Band 45, S. 20 u. ff. der Math. Annalen habe ich verschiedene Methoden zur allgemeinen Bildung 

 der Relationen entwickelt und auch gezeigt, dass die niedrigsten derselben für r Gruppen vom 

 Grad r-hl sein müssen. Damals habe ich solche vom Gewicht r + 2, r + 3, ..., Ir gefunden, während 

 höhere Relationen geichen Grades vom Gewicht 2r-+- 1, 2/'+ 2, . . . nach j enen Methoden nicht 

 gewonnen werden konnten. Zu diesen weiteren Relationen gelangen wir auf folgende Weise. 



Wir nehmen an, es sei auf irgend eine Weise eine niedrigste Relation für r Gruppen 



^='f('^,Ö2"lf ■) = 



.,, ,.<2, H,, i.,2 i<.22, 



''r.ii, '') -1 1. • ■ •, 'Zii. /• gefunden worden 



Setzen wir alsdann an Stelle der Elemente x^x^, . . ., x,; j'j^Vg, . . ., y, die homogenen Elemente '— '-- • • • 



X ■ X X V - 



—^ ;'- — •••■—> so geht jede Elementarfunction, zum Beispiel a,,2j, in das V'erhältniss zweier /'förmigen 



z,- r, z.^ Zy 



elementaren Functionen, zum Beispiel ~' ' " '-^^-^^"^ — — 1= - - ' " und damit die Relation 'f selbst in 



z^z^ . . .Zr do, 0, r 



eine homogene Relation von demselben Grad r+\ und dem Gewicht /'(/'-l- 1) über. Besitzt die Func- 

 tion 'f hinsichtlich der Reihen ,r, .v^ . . ., hezw. y^y^ ... die Gewichtszahlen /', , bezw. p^, so erhält sie 

 nach obiger Transformation und Multiplication mit aJ"J^ , hinsichtlich c, Cjj • • • das Gewicht 



p.^ = r^ + r^p^—p.>. 

 Sie sei deshalb mit 



bezeichnet. Indem wir nun auf dieselbe die Processe A*, A-'' wiederholt anwciiden, gelangen wir schliess- 

 lich zu einer Reihe weiterei- Relationen, welchen die Gewichtszahlen entsprechen 



