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+ ''i1|0J"iu''|22 + '''^?|''|1'^222+"2''|2"iI2 + "||'^2"22— ■^''|"22^'||2 

 + ^'22(~5'?,^?U2 — 2<7Vl22 + -^'l"lll"l22) + ^^H2(3"l^'ll"222-(-'''^^ll2''l22-'"'>''2"ll''l22 



ni-.j = ^'n2^"n'hi2-^'h''in "ii"i2'^ii2 ^ -^''i''i i i'^i22 + ''i i i''i2) 



+ "|II<-'''"'|I<'222 + -"m''22"|I2 — ■^''l2''22"lll-^'2''ll2+''"2"lll''l22+f'"l'^lll"222) = <^' 

 III,.^ = "l22<'^n"l22+'^l'^'ll2— ''||"'2|"H2 7 "^''l''lll''l22+''lll"l2* 



+ a||,(2t;|,i72l-'7,22 — •^"||«|2"222— ■^''22''lll+-^''l''ll2"222-"2''ll2^''l22+^"2'''lll'^'222) = 0. 



2. Abschnitt. 



Die zweifach symmetrischen Functionen. 



i^. 8. 

 Die zwei- und mehrfach symmetrischen Functionen. 



Treten zwei Systeme, 7Aim Beispiel 





(1) 



von 111, beziehungsweise ;; V'ariablenpaaren zu einander in Beziehung, so lassen sich auch Functionen 

 bilden, die sich nicht ändern, wenn man zwei Gruppen des einen oder des andern Systems miteinander 

 vertauscht. Eine solche Function verhält sich symmetrisch hinsichtlich der Gruppen jedes der beiden 

 Systeme. Ich nenne dieselbe eine zweifach symmetrische Function jener Gruppen. 



Eine zweifach symmetrische Function der Gruppen zweier Systeme von Elementen ist 

 eine solche, die sich nicht ändert, wenn man zwei Gruppen des einen oder auch zwei 

 Gruppen des andern Systems miteinander vertauscht. Beispielsweise ist 



eine zweifach symmetrische Function der beiden Systeme von je zwei Variablenpaaren — 



.t-,.v,, x^y^: .vly[, .rj.v.;. 



Wir werden weiter unten solchen Functionen begegnen. .Allgemein wollen wir definiren: 



Eine /-fach symmetrische Function der Gruppen von /-Systemen von Elementen ist 

 eine solche, die sich nicht ändert, wenn man zwei Gruppen irgend eines Systems mit 

 einander vertauscht. 



Betrachtet man in einer solchen die Elemente von / — 1 Systemen als constant, so ist dieselbe symmet- 

 risch hinsichtlich der Gruppen des /-ten Systems und kann deshalb einerseits durch die Elementarfunctionen, 

 anderseits durch die einförmigen Functionen derselben dargestellt werden. Da dies für jedes der /-Systeme 

 der Fall ist, so gilt der Satz: 



Eine /-fach symmetrische Function von /-Systemen von beliebig vielen Gruppen von 

 Elementen las st sich als Function der Elementarfunctionen, beziehungsweise einförmi- 

 gen Functionen der Gruppen jedes der /-Systeme darstellen. Ist die /-fach symmetrische 

 Function eine ganze Function der Elemente der /-Systeme, so kann sie auch als ganze Function der 

 Elementarfunctionen, beziehungsweise einförmigen Functionen derselben dargestellt werden. 



