Die syuiuictr. Functionen der gemeinsch. Variablenpaare ternärer Formen. 46o 



kennen gelernt, so gewinnt man hieraus, wie ich gezeigt habe,* die Darstellung der nächst höheren 

 Potenzsummen, bezw. Elementarfunctionen durch die Formeln: 



5;,+i =-iy^(^,^,_(/+i)^,+,) 



^'^' . (6) 



^'^'=ph\W'Y.'%r^' 



Allgemeine Endformeln für diese Functionen hat zuerst Waring** aufgestellt, denen dann späterHerr 



gegeben hat: 



Mäcmahon*** die Gestalt gegeben hat 



wo sich das Summenzeichen über alle isobaren Producte von Elementarfunctionen, bezw. Potenzsummen 

 vom Gewicht p erstreckt. 



Um ein einfaches Beispiel von zweifach symmetrischen Functionen zu haben, wollen wir die Aufgabe 

 zu lösen suchen: 



Die Gleichung aufzustellen, deren Wurzeln die Differenzen der Wurzeln zweier 

 algebraischen Gleichungen i«ten und «ten Grades sind. 



Bezeichnen mit ,r, .r^ . . . ,r,„, bezw. jl'iJt'j • • • >'« die Wurzeln der gegebenen Gleichungen 7»ten und 

 «ten Grades /,„=zO, bezw. /„ = und deren Elementarfunctionen, bezw. Potenzsummen mit 



a^a^...a,„■, l\l\. . .b„, 

 bezw. 



<?<;*? . * </ 9' ?' . 



so erhalten wir als Wurzeln der zu bildenden Gleichung: 



M — ■ -* 1 J'i ' '2 — - -^1 j*'2' • • ' '" — - ^\ y» 



in+i = x^—Ji, /„+2 = -1^2— J'2. • • •' h,i = x^^yn 



-' - (8) 



'm/1 — ;i + l — -1'm J'i > • ■ •> hitn — A'm JJ'ji ■ 



Da die Anzahl derselben r = niu, so erhellt, dass die gesuchte Gleichung vom Grad r und von der 

 Form sein muss: 



T{t) = f—A,t>-^+A^t'--. . . + {—lyA,. = 0. 



Es handelt sich nun darum, die Coefficienten .4 in Function der Elementarfunctionen a^a2 ■ ■ .b^b.,- . • 

 zu berechnen. 



Werden zu diesem Zweck zunächst die Elemente (8) in die erste, zweite, dritte, ..., ;ne Potenz 

 erhoben und addirt, so ergeben sich direct die Potenzsummen: 



* Zeitschrift für M.itiiematlk und Pliysik 1896, S. 199 u. ff. 

 ** Medidationes algebraicae. Editio tertia, p. 13. 

 *** Memoir on Symmetrie Functions of the Roots of Systems of Equations. Philos. Tiansact. Vol. 181 (1890), p. 481— 536. 



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