Die syiuiiuir. Fuiuiioiicii der geiiieitisch. Variablciipaare tcntärer Fonuen. 467 



Ist nun der Coefficient A = A.,, = 'f(a, b) auf irgend einem Wege durch die Elementarfunctionen von 

 .i|.V2 ■ • .v,„ und i'ij'g - .,v„ ausgedrückt, so ergibt sich hieraus die (x — l)-förmige Function .4,t_i durch die 

 Operation: 



1 ( 3m 8'xi "b's ) 



r— 5H-1( öa, ^ca^ »''s ' 



oder durch {^'^) 



Um die Coefficienten A^A^ . . . \y^\ mit Hilfe der Processe (12) und (13) berechnen zu können, ist 

 demnach nur die Kenntniss der Resultante A,- vorauszusetzen. 



Werden /'-Wurzeln von /,„ = und /„ = einander gleich, so müssen /-Wurzeln der Gleichung 

 T(t)—0 gleich Null sein. Dies tritt, wie schon Lagrange* gezeigt hat, ein, wenn die /-Bedingungen 

 erfüllt sind. 



Ar = 0, .4,_i = 0, . . . , A,-i+i - 0. (14) 



Während aber Lagrange diese Bedingungen durch partielle Ableitung der Resultante nach dem 

 Coefficienten des letzten Gliedes von /,„ oder/,, e.ihält, werden dieselben hier mit Hilfe der Differential- 

 processe (12) oder (13) gewonnen. 



§. 9- 

 Die zweifach symmetrischen Functionen der Coordinaten zweier Punktsysteme in der Ebene. 



Bezeichnen wir mit P^P^...P,„, bezw. P[P!^....P'„ zwei Systeme von «/, bezw. n Punkten der 



Ebene mit den homogenen Coordinaten x^\\z^, x^y^z^,. . . ., x,i,y,„z„i, bezw. x'^y'^z^, x'^yf.^, , -v,,!',,-,, 



so sind beispielsweise zwei Punkte derselben P-,., Pi angegeben durch: 



nx\+vy.^ + ivz.,, — 0, ux'-,, -)- rv' -I- ivz',. =0, (1) 



woraus sich die Coordinaten der Verbindungslinie P«P)' ergeben: 



u : v: w = y.^z';, — z.^yi : 2^4— ^x~x : -t'xj'l — jv4, (2) 



die wir in folgender Weise schreiben wollen: 



h:v: w = (yA) : (.".4) : (x.y'i). (2') 



Legt man hierin den Zahlen x und X alle möglichen Werthe von 1 bis wr.-bezw. 1 bis n ^ei, so 

 ergeben sich hieraus die Coordinaten «,i',h',, u^t\n>^,. . ., u,v,rv,-, wo r=nni ist, sämmtlicher Verbindungs- 

 linien der Punkte des Systems P mit denen des Systems P'. 



Nun ändert sich, wie leicht zu erkennen ist, eine symmetrische Function dieser Coordinaten nicht, 

 wenn man zwei Gruppen ,r,-v,c, und x.^y^z.^ des Systems P oder auch zwei Griippen x'y'z' und x.lyy.zj, des 

 Systems P' miteinander vertauscht. 



Jede symmetrische Function der Coordinaten 



1l^v^1l'^. n^v^w^ u,v,iVy (3) 



der Geraden PyPl ist somit eine zweifach symmetrische Function in Bezug auf die 

 Coordinaten der Punkte der beiden Systeme P.^ und PL und kann deshalb in der in §. 2 

 beschriebenen Weise durch die Elementarfunctionen, bezw. einförmigen Functionen 

 der letzteren ausgedrückt werden. 



Abhandlungen der Berliner Akademie 1770 und 1771. 



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