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Bezeichnen wir die Elcmentarfunctionen der Coordinaten (3) durch den lateinischen Buchstaben .4, 

 und deren Gewichtszahlen X, [x, v hinsichtlich der Reihen u^lt.^. . ., v^v.^. . .; w^lv^. . . durch untergesetzte 

 Indices X, p., v, so erhalten wir das System von elementaren doppelt-symmetrischen Functionen: 



A A 4 



^1 . 0-0 -^U. I ■ ^^D .0.1 



A A A A A A 



■^2.0.0 -^1 . 1 . ü ^1 . u , I -^0,2.0 ^u . 1-. 1 -^ü . > 2 



(4) 



A A 4 



■"^r, 0. ^'— I . 1 , • • • '0. Ol ' > 



r(r-i-3) 



deren Anzahl r; =r ist. 



Werden in ähnlicher Weise die einförmigen Functionen der Gruppen (3) durch den deutschen Buch- 

 staben 5( und entsprechende untere Indices, zum Beispiel 



lii'-vi^w] mit ?(),, ,1, V 



bezeichnet, so ergibt sich ein dem System (4) analoges System von einförmigen Functionen, deren Anzahl, 

 wie leicht zu sehen ist, unendlich ist. 



Da aber die Anzahl der dieselben zusammensetzenden Elemente der beiden Systeme P.^ und PI der 

 Voraussetzung gemäss eine endliche Grösse ist, so folgt auch hier wie im binären Gebiet*, dass die ein- 

 förmigen Functionen 31 nicht unabhängig voneinander sein können, sondern durch unendlich viele iden- 

 tische Relationen untereinander zusammenhängen müssen. 



§• 10. 



Die Bedingungen der gemeinschaftlichen Punktepaare zweier Punktsysteme in der Ebene. 



Nehmen wir an, die Elcmentarfunctionen A sowie die einförmigen Functionen ?l seien durch die 

 Elementarfunctionen aiO^... und l^b^- ■ , bezw. durch die einförmigen Functionen 1-1,11^... und tijbj... 

 der beiden Punktsysteme P^P^. . .P,,,; P'xPL . .P,[ dargestellt, so kann man verlangen, die Bedingungen 

 aufzustellen, dass ein Punkt P-^ des ersten Systems mit einem beliebigen P,[ des zweiten zusammenfällt. 

 Die Bedingungen hiefür ergeben sich einfach durch folgende Überlegung. 



Fallen die Punkte P,. und PI zusammen, so verschwinden offenbar die Coordinaten 



n : v: IV - {y-^A) ■ ("x-r',) : (-V'/J'',) 



ihrer Verbindungslinie P;P,!. Verbinden wir dieselben durch die lineare Gleichung 



/,• = ^.(y.z:) + [M~.y,) + 'iix.oi), (1) 



wo 7., ß, ■( willkürliche Grössen bezeichnen sollen, und legen wir den Zahlen '/., X alle möglichen Werthe 

 von x ::= 1 bis vt ^ iii, bezw. X ^ 1 bis X ^ // bei, so ergeben sich r = um Werthe 



für /„ welche den mn Verbindungslinien der Punkte des Systems P mit denen des Systems P entsprechen. 

 Die algebraische Gleichung, welche diese Grössen als Wurzeln enthält, ist dann angegeben durch 



7-, _ j.-iv/^ ^ T'--lf,t.^— ...+ (- l)'/,/^ .../,. = 0. (2) 



Soll nun ein Punkt Py, mit einem Punkt P,' zusammenfallen, so muss nothwendig eine Wurzel /,■ 

 dieser Gleichung Null werden. Dies ist aber bekanntlich der Fall, wenn der Coefficient des letzten Gliedes 

 derselben verschwindet. Diese Bedingung ist also angegeben durch 



//g/g. . ./, = a'.4,,o,o + a'-'ß^,- 1,1,0+ . . . +r'Ao.o.r = 0. (3) 



* Vergleiche die .Abhandlung des Verfassers: Zeitschrift füi- Mathematik imd Thysil;. Jahrgang 1890, S. 207. 



