Die sytntiuir. Functionen der genieinsch. Variahienpaare ternärer Formen. 4ö9 



Da nun hierin die Grössen a, ß, •( vollständig willkürlich gewählt sind, so leuchtet ein, dass auch 

 die Coefficienten der Potenzen und Producte von a, ß, 7 verschwinden müssen, wenn diese Gleichung 

 bestehen soll. 



Die Bedingungen, dass die beiden Punktsysteme P und P' ein gemeinschafliches 

 Punktepaar besitz en, sind somit angegeben durch das Verschwinden der r-förmigen 

 symmetrischen Functionen der Coordinaten der r ^ um Verbindungslinien der Punkte 

 des einen Systems mit denen des andern: 



A,., 0, = 0, ^,._,, 1, = 0, . . . , ^0, 0, ,• = 0. (4) 



Fallen zwei Punkte der beiden Systeme zusammen, so muss noch eine weitere Wurzel der Gleichung 

 7 = verschwinden. Dies ist aber der Fall, wenn nicht nur der Coefficient des letzten Gliedes jener 

 Gleichung, sondern auch der des vorletzten -/(/j- ■ -U-i ^= ist. Da diese Function sich aus den sämmt- 

 lichen (r — l)-förmigen zweifach symmetrischen Functionen des Systems (4) im vorigen Paragraph 

 zusammensetzt, so folgt, dass 



yl,._i, 0, = 0, A,-2, 1,0 = ^0, 0. ,- 1 = (5) 



mit den Gleichungen (4) die Bedingungen repräsentiren, die nothwendig und hinreichend 

 sind, dass die beiden Punktsysteme Pund P' zwei gemeinschaftliche Punktepaare besitzen. 

 Allgemein leuchtet ein, dass die z-Systeme von r-förm.igen, (r — l)-förmigen, . . ., (r— /+ l)-förmigen 

 Elementarfunctionen : 



^., 0,0 = 0, .4,._i,i,o=0, ..., Al,ü,r=0 (1) 



^,_,, 0, = 0, yl,.„o 1, = 0, . . . , ^0, 0, ,-1 = (2) 



(6) 



.4,.^,+!, 0, =: 0, A,-i^ 1, — 0, A,-i-\. 2, — 0, ... ^0, 0, r-i -t-i — (/) 



\'erschwinden müssen, wenn die beiden Punktsysteme P und P i Paare von gemeinschaftlichen an 

 beliebigen Stellen befindlichen Punkten besitzen sollen. 



Da diese Bedingungen zweifach symmetrische Functionen der Coordinaten der beiden Punktsysteme 

 P^P^. . .P„i und P[P^. . .P,', sind, so können sie als ganze Functionen der Elementarfunctionen, bezw. 

 einförmigen Functionen der letzteren dargestellt werden. Hiebei ist zu bemerken, dass die Functionen (1), 

 (2),. . .,(/) des Systems (6), bezw. vom Gewicht 2inn, 2(»n/— I) 2{mH — z + 1) sind. 



Für ni 1= 2, ;/ ^ 2 ergeben sich beispielsweise die beiden Punktsysteme P^P.^ und P'iP!^, denen die 

 34 Elementarfunctionen der Coordinaten det Verbindungslinien entsprechen 



'-l*. 0.0= "i"2":i"v ^3.1.0 = 5;«,«g«3t;4, . . ., ^,. „. , = n\iv^w.,w^ 



A3.0. = -"l»2"3- A. ..0=-«i"e^3. ••■> ^0,0.3 = -«'l*^2'^3 (7) 



'^2. 0. 0= -"l"2' --ll. ,.0= -"ll'2- •••- A. 0.2 = -^1*^2 



^1 . 0. "1 ' '^0.1.0 — — '1 ' • • • ' -^0 ■ . 1 — -"'i- 



In den Elementarfunctionen der Gruppen x^y^, x^y^,. . ., x,„y,n, und x[y[, x^y'^,..., x'„y'n ausgedrückt, 

 nehmen beispielsweise die Functionen die Gestalt an: 



^0. 0, 4 = «^^22-'^ll'^I2^'l^^'2^ + «l^^'ll^^--«ll«22^l^2+'^ll'^22^1^-'^l^''22^l^^+'^^2^n• 



\. 0, 3 = ßll^2(«l^'22-'^2^^)-«22^K^|-«l^2) + ^l^'2('^12''2-'^2^«.)-''^2^('^12«l-^.l'''2) ^g) 



