Die syiiniictr. Fiiiictioiicu der gcnicinsch. \'vriahlenpaare tertiärer Formen. 473 



Wir werden dieser Function weiter unter bei der Berechnung der symmetrisciien Functionen der 

 Schnittpunkte zweier algebraischen Curven wieder begegnen. 



§• 12. 



Ermittlung der symmetrischen Functionen der gemeinschaftlichen Variablenpaare zweier ternären 



Formen. 



•z. E I i m i n a t i o n s m e t h d e. 



Zwei ternäre ?"ormen / und 'f vom Grad ;;/, bezw. n haben bekanntlich r = luii Variablenpaare X0\, 



x^y^,..., ,v,._)v gemeinschaftlich, welche durch i = -~ — - Elementarfunctionen verbunden sind. Um 



diese Functionen zu berechnen, verbinde man nach bekannten \'orgängen die \'ariablen .vr durch die 

 Gleichung 



/ = /..V+[JL_V, 



wo A und [j. litterale Zahlencoefficienten bedeuten mögen, dann gehört zu einer Gruppe gemeinschaftlicher 

 \'ariablenpaare von / und -f die Grösse /, = >.,v, + [jlj',-. Eliminirt man hierauf aus den drei simultanen 

 Gleichungen 



/=0. 'f = 0, /— X.V— -j._v = 0. (1) 



die Veränderlichen .v und _)', so erhält man ein Eliminationsresultat von der Form 

 i?(/X|j.) := Aj'-^f'-' j>.,4^ + ,j..4^; +/'-25)A4,,4-ÄiJ..4,, + ;j.^-J„i-. . . + 



+ (— l)'jXM,,n + /,'-';j..4,_,. ,+ . . +ij.'.4o,,| = 0, 



w'elches hinsichtlich /. X, jx vom Grad r= iiin ist und in welchem A^A^A^. . . ganze Functionen der Coef- 

 ficienten von / und 'f repräsentieren. 



Da anderseits die Resultante der Functionen (\) auch ausgedrückt ist durch: 



R = (/— X.r — ij.ji',)(/— /..Vj — ;i._j'jl. . .(t—kXr—\3.y,) 



(3) 



= /'-/'-' JXI.Vi+alv,; +t'--\\^lx,x^ + h,lx^y, + <>} \v^y^\ — . . .= 0, 



so ist ersichtlich, dass die \'erhältnisse der Grössen A^A.^A^^A^^A^^. . . zur Function .4,. die Elementar- 

 functionen der gemeinschaftlichen Variablenpaare von _/" imd 'i darstellen. Es ist: 



S.r, =.4, : .4,,, i:,r, = A^ : A^, 



(4) 



Dies ist der gewöhnliche Weg zur Ermittlung der s_vmmetrischen Functionen zweier ternärer Formen. 



ß. Differentialmethode zur Ermittlung der symmetrischen Functionen mit Hilfe eines 

 Leit gliedes. 



So übersichtlich und einfach auch die oben dargelegte Methode zur Ermittlung der gemeinschaftlichen 

 Variablenpaare zweier ternärer Functionen auf den ersten Blick auch erscheinen mag, so wenig eignet 

 sie sich praktisch zur Durchführung selbst einfacherer Beispiele. Den Fall ausgenommen, dass eine der 

 Functionen / oder rp linear ist, führt sie sofort zu nur schwer zu bewältigenden Rechnungen. In diesem 

 Fall erscheint es wünschenswerth, ein anderes Verfahren kennen zu lernen, das auf einfachem und vor- 

 gezeichnetem Wege zum gewünschten Ziele führt. Ein solches Verfahren glaube ich durch die 

 im vorigen Paragraph ermittelten Differentialprocesse (13) und (14) der zweifach sym- 

 metrischen Functionen gefunden zu haben, vermittelst deren sämmtliche symmetrische 

 Functionen der Schnittpunkte von / und -i von einer Leitfunction hergeleitet werden 

 können. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. LXIV. Bd. gQ 



