474 Fr. Junker, 



Wir gelangen zu diesen Processen am einfachsten, indem wir uns die Formen / und 'f in Linear- 

 factoren zerfällt denken. 



Denken wir uns dieselben mit dem Coefficienten des letzten Gliedes durchdividirt und auf die Gestalt 

 gebracht: 



/= t?m,o-r"' + a,„_ 1 i.r'"-' r-+- . . . +(/|.v + (7j r+ 1 



wo die unabhängigen Coefficienten entsprechend den Exponenten der betreffenden Glieder durch untere 

 Indices bezeichnet sind und denken wir ims ferner _/' und rp in Linearfactoren von der Form H,,r + f,r+l, 

 ii',,x+tiy-\- 1 zerfällt, so ist 



f= (ii.x + v. v+ \)(it x + v„ v+ n. . .(h,„x + v,„ v+1) 



(6) 

 'f = (//[.v-t-r,' v+ l)(H.[t-+'?','_r+l). . .(ii'„x + v'„y+\). 



Diese Producte sind lineare symmetrische Functionen der Gruppen u^l\, ii^v^,. . ., bezw. !i\i'[,u'^r[,. . . 

 und können demsfemäss durch die Elementarfunctionen derselben linear darsrestellt werden. Wir erhalten 



f= x"•lll^n^. . .»,„+.r"'-i_rS»,"2. . .;.',„+. . . +.v!://, +_ri:r| + 1 

 'f = x"lulii!,. . .u'„ + x"--\vl.!i[ii^. . .v'„+ . . .+xl!il+ylr[+\. 



(7) 



Durch Vergleichen von (5) und (7) ist zu erkennen, dass die Coefficienten i3,rt2'?ii ••■• bezw. l^l^l',, ■ • . 

 identisch sind mit den symmetrischen Functionen S//,, ili',, ü^i^/j,. . ., bezw. -ii\, -v\, -//'«f^,. . . der 

 Gruppen u v, bezw. tt' v'. 



Nehmen wir nun zu den Gleichungen /:=0, 'p =0 noch die lineare Gleichung / = Xx+iiy hiezu, so 

 ist die Resultante derselben angegeben durch die Gleichung (2): R(tX\i.) == 0. Da der Annahme gemäss die 

 P\irmen/ und f in lineare Factoren zerfallen sollen, so erhalten wir die gemeinschaftlichen Variablenpaare 

 derselben auch, indem wir diejenigen von jedem Factor von / mit jedem Factor von 's suchen. Sind 

 UiX + Viy+\, bezw. u',^x+v'.^y+\ zwei solche Factoren von/, bezw. rp, so hat das gemeinschaftliche 

 Variablenpaar derselben den Werth: 



— _ ^«~'^' _ _ ( "» — ^« 



Für / = 1, 2,. . ., in\ y.rr 1, 2 ii ergeben sich hieraus sämmtliche zusammengehörige Elemente der 



;»!/-Variablenpaare von / und -f. Irgend ein Factor Z,.^ — X.v— ar von (3) ist dann angegeben durch 



ti^ — i(uivl,) + \{v', — vO + \>.{iii—u!,), (8) 



wo mit dem Nenner {tiiv!^) durchdividirt worden ist, um die Resultante R als ganze Function der Gruppen 

 UV, bezw. ;/'('' zu erhalten. Diese selbst ist dann angegeben durch das Product der niu Factoren: 



iv zz: 'i I 'i 2 ■ . . ' ! '/ X /2|'22 ■ ■ '*'ln ^ ■ ■ ' y^ 'in 1 ' in '2 • • 'hn,n 



- C,A + /'-MÄC,+iJ.Q| +/'--' jX^C,, +X;j.C,2 + [J-^Qj i +. . . 



Da nun hierin sämmtliche P'actoren t,.^ linear enthalten sind, die wir aus (8) für /= 1,2,...,»/; 

 •/. =; 1, 2,. . ., n erhalten, so leuchtet ein, dass ^1 CiQ; C^^C^^C^^^,. . .: C,,o, C,— i,i,. . .. Co,,- die sämmt- 

 lichen r-förmigen Elementarfunctionen der r-Determinanten {tiiv'y,) und der 2r-Reihen von Differenzen 

 v'.^—Vi, bezw. iii—n'^ repräsentiren. Dieselben sind bezw. vom Gewicht 2r, 2;-— 1, 2r — 2:. . ., r hinsichtlich 

 der Reihen 1l^n[1l^n'^,. . . und r^v\v.^i{,. . . \'on denselben ist C„ gleich dem Product der r-Determinanten 

 (iiiv!,,). Die Functionen C, Cj enthalten ebenfalls in jedem Glied r— 1 derselben und ausserdem noch eine 

 der Differenzen v!,, — i'j, bezw. Ui — n'.,,. Die Functionen C^^C^^C^^ sind vom 2. Grad in Bezug auf die Ele- 

 mente dieser Differenzen u. s. w. 



Es sind dieselben Functionen, die wir im vorigen Paragraph in (12), (13) und (14) kennen gelernt 

 haben. 



