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Die syuiuictr. Fnuctioucn der gciiwiiisch. Variablcupaare teruürer Fonneii. 477 



x'—a^x'- ' + ß| ,.v''--— . . . + (— l)'i7,- = 0, 

 ■x'-^y—{r—\)a^x''^-y—a^x'-^ + {r—2)a^^x''-^y + a^^x>^-'— . . . +(— l)'a,._i, i = 0, 



(2) 



ry•■-Kr—ir-^)a0'•--x-~a,y'-^ + (r—2)a^^y—^x+a^^y•--—. . . +(— l)'ai, ,._i = 0, 

 y'—a^y'-^ + a^^y'--—. . . +(— l)'tZo,r = 0, 

 die auch in der Form geschrieben werden können: 



(x — x^)(x — x^). . .{x — X,.) = 

 S(.r— .r,)(.v— .Vj). . .(.r— 7.,._i)0'— jv) = 



(3) 



V — -^ zill ' "^ --J^ (4) 



■i:(x-x^)(y-y,)...(y-y,)^0 



(>■— J'i)0'-V2)---O'-JV) = 0, 



wo jede Function sowohl homogen hinsichtlich der Elemente der Reihe x^x^x^... x,- als auch hinsicht- 

 lich yy,y^ . . .y,- ist. 



Diese Gleichungen besitzen in der That interessante Eigenschaften. 



In erster Linie leuchtet ein, dass sie durch jedes Variablenpaar x,y, befriedigt werden, welches 

 den Formen / und 'f gemeinschaftlich angehört. Sie können deshalb zur Berechnung derselben benütz; 

 werden. Die erste der Gleichungen (2) oder (3) stellt eine algebraische Gleichung r"^" Grades in x dar. 

 Sie liefert deshalb aufgelöst direct als Wurzeln die Elemente der Reihe XfX.^. . .x,. Da die zweite 

 Gleichung (2) linear in y ist, so lässt sich diese Grösse rational in Function von .v und der Elementar- 

 functionen ausdrücken. 



Wir erhalten 



an-^'-- + eiyn^-' 

 rx•^-'^—(r—l)a^x'-^+(r—2)a^^x'^ 



und hieraus zu jeder W'urzel x, direct durch Substitution das zugehörige Element 



r-l 1—-2 , »—3 



a,x. -a^^x. +fl,,2.r. — ... 



yi — — — —, , (o) 



rx''. '-(r—l)atx''. --^.(r—2)a,^x.~^—... 

 womit unsere .Aufgabe gelöst ist. 



Wir sehen somit, dass zur Erm ittlung der ge mei nschaftlichen Variablenpaare zwei er 

 ternären Formen/ und 'i vom Grad in und n nur die Auflösung einer einzigen Gleichung 

 mn^^" Grades nöthig ist. 



Bezeichnen wir irgend eine symmetrische Function des Systems (3) mit ;t, so ändert sich eine solche 

 nicht, wenn man die Elemente der Reihe xXyX^. . .x,- oder der Reihe .vv, j'j . . ._v,- um die gleiche Grösse X 

 wachsen oder abnehmen lässt. Entwickelt man dieselbe nach Potenzen von X, so zeigt sich, dass jede der- 

 selben nothwendig den beiden Differentialgleichungen genügen muss: 



r r 



V Sit 87t ^ V 8- Srt ^ 



/ 5— +^ =0, > 5 ^K- —0, (6) 



^-~ ö.r, dx — ^ 3 r, 8 V 

 1 ' 1 - ' - 



welche nach weiterer Ausführung die Gestalt annehmen: 



8 7t 87t ^ ,1' 87t 8rc ( , ^ ( 87t 37t 87t I 



ex öa^ '8ö,, ' ^a^^ M 'S^m ^a,n ^^hii ' 



&7t 07t , , J &7t &7t ; ^A Or. 87t CT. I 



Cy Oa^ MdtZjj ' Cü,2 'I '8Ö222 ^^^122 &fl||2 ^ 



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