478 Fr. Junker, 



Wir bezeichnen diese Gleichungen als die Differentialgleichungen der s3'mmetriöchen Func- 

 tionen der Differenzen x —x, , .v— ,v,. 



Hiebei ist jedoch zu beachten, dass dieselben nicht allein den r-förmigen Functionen (3), 

 sondern auch den (r— l)-förmigen, (r — 2)-förmigen, ... 3, 2. einförmigen und jeder höheren 

 symmetrischen Function der Differenzen x — Xj, y^ji genügen. 



Bezeichnet t. ^ irgend eine Function des Systems (2), so geht dieselbe, wie leicht einzusehen ist, 

 nach .Anwendung des weiteren Processes 



-— j 8 .tr - ' 8 x-^ 

 1 ' 



oder (8) 



8ir 8:i ( 8j: St: ) l 87: 8:1 ) 



dx-^ 8a, * (8a,, '^ 8a, ,, "^ ) 1 8a,j " Pa,,, '" \ 



„j 8:r dz } 



'""122 ""1122 



direct in eine andere derselben .Art über. .Ausgehend von der Function 



x'—a , X'- ' + a , , .V'- -'— ...+(_ 1 Ya ,. ,, — 



gelangt man auf diesem Wege der Reihe nach zu sämmtlichen übrigen P\mctionen (2). 



3. Abschnitt. 

 Die Bedingungen der gemeinsehaftlichien Schnittpunkte dreier Curven. 



§• 14. 



Ermittlung der Bedingungen der gemeinschaftlichen Schnittpunkte dreier Curven. 



ci) Gegeben seien die Gleichungen dreier ebenen algebraischen Curven 



/— a„.r"' + cT,.v"'-'j'+ ■ • ■ +«).-"' = <^ 



'f = b„x" + l\x"-^y+ . . ■ +b,,z" =0 (l) 



■^ = c„s;''+(r,.T'' '.v+ . . . +<r.,s'' = 



von den Ordnungen in, 11. p, welche zunächst keinen Bedingungen unterworfen sein sollen imd daher 



u • u m(m + 3) ii{n + 3) p(p + 3) , , .. . ., , , j , ■ , 



beziehungsweise 5, =: -, s^^=-^—^ — -, Sg ^ ^— ^— — - unabhängige Constanten und beziehungs- 



weise s,+l, Äj+l' -'>'3+l Gliederbesitzen. 



Schneiden sich zwei derselben, z. B./und 'f in r=i!mi Punkten mit den nicht homogenen Coordinaten 

 x,y\, -rjjj'j,. . ., x,-yr, so ist bekanntlich die Bedingung, dass einer dieser Punkte auch auf der Curve -jj liegt 

 ausgedrückt durch das Verschwinden des Products 



R,. = -1 (.r, r, ) ^ (x,y,) . . . -K-r, r,) = -{.,■;., . . . 'W (2) 



das man allgemein als die Resultante der drei Gleichungen (1) bezeichnet. Um dieselbe als ganze Function 

 der Coefficienten von / und 'f zu erhalten, hat man R, noch mit dem F"actor .4/; zu multipliciren, wo .4,, 

 die aus §. 11 und §. 12 bekannte Resultante der Glieder höchsten Grades von /und cp darstellt. Die Resul- 

 tante Rr enthält, wie wir wissen, die Coöfficienten /, 'f, (]j, bezw. im Grad iip. pni. ntii und drückt die 

 nothvvendige und hinreichende Bedingung aus, dass irgend ein Schnittpunkt von /" und -f auch auf der 

 Curve •]/ liegt. 



Sind nämlich .r,jtv die Coordinaten irgend eines Schnittpunktes von /und 'f, so ist offenbar •}(.r,;V/) =0 

 sobald die Curve -j» durch denselben hindurchgeht. Da nun -}),• in dem Product (2) als Factor enthalten ist, 

 so leuchtet ein, dass dasselbe nothwendig verschwinden muss, sobald dies für -{/, der Fall ist. Daher ist 



