Die syunuctr. Fitiictioncii der ,iieniciusch. \'ariah!cupaarc Icruiircr Fonnen. 479 



i?,-= die nothwendige Bedingung, dass /, 'f und 'J^ durcli einen Punkt gemeinschaftlich hindurchgehen. 

 Sie ist aber auch vollständig ausreichend, da sie stets das Mittel darbietet, irgend eine Constante einer der 

 Curven (1) so zu bestimmen, dass eine solche durch einen Schnittpunkt der beiden anderen hindurchgeht. 

 Die Gleichung 'J*, 'J^j . . • 'p, = ist beispielsweise hinsichtlich der Coefticienten von '|< homogen vom Grad 

 rzzzmn. Setzen wir daher von denselben alle bis auf einen als bekannt voraus, so stellt dieselbe eine Glei- 

 chung r-ten Grades hinsichtlich des letzten dieser Coefticienten dar, deren r- Wurzeln je für sich betrachtet, 

 die Bedingung erfüllen, dass die Curve -L durch einen der r-Schnittpunkte von / und -i hindurchgeht. 



b) Liegen zwei der Schnittpunkte von / und 'f, deren Coordinaten Ar/_y,-, ,v«jiv sein sollen, auf der 



Cur\-e '{;, so ist 



■liXivi) - 0, -l^ix-^y,) = 0. 



r 



In diesem Falle verschwindet neben R, auch noch die Summe 7?,-_i = > 'Irla- • ■'{'.-i von je r— 1 der 



Grössen -{;,, '|^.^,. . ., 'J>,., da in jedem Glied derselben mindestens einer der beiden Factoren 'J-,- oder -Jj-, (oder 

 auch beide) enthalten ist. Daher stellen 



r 



R, =z •;,•;, . . . 'l, - 0, R,^, ^Ysh'W ■ ■ ■ ■W-^ - (3) 



1 



zwei Bedingungen dar, die nothwendig erfüllt sein müssen, wenn die drei Curven / 'f, ') zwei gemein- 

 schaftliche an beliebigen Stellen der Ebene befindliche Punkte besitzen sollen. Von denselben enthält R,-\ 

 die Coefticienten von / rp und 'Jj, bezw. im Grad np. pin, inii — 1 und hat deshalb den Grad 



^ =: 11 p+pm + 11111 — 1. 



Dass diese Bedingungen auch hinreichen, um die Forderung zu erfüllen, dass die Curven /, 'f , '|/ 



durch zwei Punkte der Ebene gemeinschaftlich hindurchgehen, lässt sich zeigen. 



Nehmen wir an, die Curven / und a seien fest und schneiden sich in r r= ;;/;/ Punkten PiP^...P, 



[ r \ r(r — 1) 

 mit den Coordinaten .r,_v,, x^\\ x,y,-, so lassen sich dieselben auf ( ^ ] = — - — verschiedene Gruppen 



von je zwei Punkten zusammenstellen Wir schliessen deshalb, dass eine dritte Curve -J; auf ( ^ | ver- 

 schiedene Arten durch je zwei der Schnittpunkte von / und 'i hindurch gelegt werden kann. Soll eine 

 Curve durch zwei Punkte der Ebene einfach hindurchgehen, so werden durch diese Forderung zwei 

 Bestimmungsstücke derselben absorbirt. Denken wir uns deshalb 'l auf die Form gebracht: 



•i —g+'tJi + [>.!, 



wo g, Ji, 1 drei Curven p-ter Ordnung repräsentiren, so können wir stets X und <>. so bestimmen, dass -p 

 durch zwei Schnittpunkte P, und P, von / und rp geht. .Angenommen, dies sei der Fall, so müssen nach 

 dem. was wir oben gesehen haben, nothwendig die Bedingungen erfüllt sein: 



Rr=(g,+lh,-{-<^.l,)ig^-hKJl^ + [ll^).. .(g,. + Ur+[jJ,) = 

 R.-i =2_(gt+''-^'l+l^^l)(.^i+^'-^'2 + 'A)- ■ •(^,-l-l->./'r-l + IJ.A-l) =0, 



oder 



^r= ^',,0.0 + >-^',-l, l,0+|J.^r-l,0. 1+ . . . -4- >.%,-, 0-4" ■ • . + [J.'7'o, 0, ,• = 

 Rr-l = Z',._l.u,0 + X^r-2, l,0-f-[J.ZV-2,0.1+ ■ • ■ "l" A'" ' ^'o, ,-1, + • ■ • -4" jV "'^o, 0, ,-1 = 0, 



WO die Coefticienten b von R, r- förmige und die von i?,_i (r — l)-förmige Elementarfunctionen der Gruppen 



gJt^!^, g^h^l^ gJhl, darstellen, die nach irgend einem Verfahren durch die Coefficienten von / und 'f 



ausgedrückt werden mögen. 



Als Functionen von X und [i. aufgefasst, stellen R, und i?,._i zwei Curven r-ter, bezw. (r— l)-ter 

 Ordnung dar, die sich im allgemeinen in r(r— 1)-Punkten schneiden. Wir wollen nun zeigen, dass sich 

 diese Zahl auf die Hälfte reducirt, wie es sein muss. 



