Dil' syiiuiicfr. Finictioueii der gcuiciiisch. Variablenpaare teriiärer Formen. 481 



Legt man den Zahlen /, x alle möglichen Werthe von 1 bis r bei. so erhält man sämmtliche ( 

 Curven ■];, welche durch je zwei Schnittpunkte von / und 'f gehen. 



Zur Ermittlung derselben ist also nur die Auflösung einer einzigen Gleichung r-ten Grades noth- 

 wendig, deren Coefficienten durch die symmetrischen Functionen der Gruppen gihj, ausgedrückt sind. 

 .Sind die Gruppen 'l•^\i■^, \]S^- ■ ■, ^li-i berechnet, so muss sich als Probe ergeben, dass 



X ( 1 + X, ). -f- fj.| ij.) ( 1 + Xj X 4- iJ-j [).) . . . ( 1 + X,_, X + |A,-_i |j,) = Ry^i 

 ist. 



c/ Soll die Curve 'Jj durch drei Schnittpunkte P,, P^., Pi von / und ']> gehen, so ist: 



•^, = 0, -^^ = 0, ■;, = 0. 



Daher muss nothwendig neben -Jj, ({^^ . . . -i,. und S '^, 'jj^ . . . 'J-,- 1 auch noch die (r — 2)-förmige sym- 

 metrische Function i^']', 'Jjg. ■ ■'j'r-i verschwinden, da dieselbe in jedem Glied mindestens eine der Grössen 

 '\ii, 'jij., •li als Factor enthält. 



Ebenso wie in b lässt sich auch hier zeigen, dass die Bedingungen 



''^,6,... -w = 0, x '^i -;.,... •^,_, = 0, •;, ■^^... ^, ., = 



nicht nur nothwendig, sondern auch hinreichend sind, um die F"orderung zu erfüllen, dass die drei Curven 

 / 'f, -^ durch drei Punkte der Ebene gemeinschaftlich hindurchgehen. 

 Nimmt man -^ in der Form an 



•i> =^+X/; + |j./ + v;;/, 



so erhalten wir ( I Curven dieser dreifach unendlichen Schaar, welche je durch drei Schnittpunkte von /" 



und cp hindurchgehen. Die oben erhaltenen Bedingungen R, = 0, i?,— i = 0, i?,._2 = gehen mit dieser 

 Annahme hinsichtlich der Veränderlichen Xjxv in drei Flächen von den Ordnungen r, ;' - 1, r— 2 über, die 

 sich im Allgemeinen in r(r—l){r — 2)-Punkten schneiden. Da sich diese Punkte aber als Schnittpunkte der 

 r-Ebenen 



<!^,=gi-i-''^!h + [i-li + 'Jtii, {i — 1, 2,. . ., r) 



ergeben, so erhellt, dass sich diese Zahl auf ( ] reducirt, wie es sein soll. Ist die Resultante R,, die wir 

 uns auf die Form 



7?,.= 1 4-X4|+;j..42+v.4., + X^4,, + . . . +v'.4o,o,,- 



gebracht denken können, durch die Coefficienten von /und cc ausgedrückt, so muss dieselbe ihrer Definition 

 zufolge in lineare Factoren zerfällbar sein. Wir erhalten die Coefficienten dieser Factoren, indem wir die 

 Gleichung 



X'-X'-L4,+X'-2.4,,-...+^-l)'-^,, 0,0 = 



auflösen und die zu einer Wurzel X, gehörigen Elemente [i, und v, durch Substitution aus 



A^X. -—A^^X. ^ + A^^^\. — ... 



^3x;-'-^,3x;--+.4.,3x;-^-... 



'■ - rX:-^-(r-l)^.Xp- + (r-2)^„Xp-. . 

 berechnen. 



d) Allgemein finden wir, dass durch 



i?, = 0, /?,-_, =0, Rr-2 = R,-i+l=0. 



die Bedingungen ausgedrückt werden, die nothwendig und hinreichend sind, dass / Schnittpunkte zweier 

 Curven / und -i auf einer dritten Curxe ■} liegen. Um dieselben als ganze Functionen der Coefficienten 



Denkschriften der mathem.-nalurw. Ol. LXIV. Ed. gl 



