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von / und 'f zu erhalten, hat man noch mit einem Praetor -4',' zu muitipliciren, wo ,4^ die Resultante 

 der Glieder höchsten Grades von / und 'f bezeichnet. 



§. 15. 



Andere Methode der Ermittlung der Bedingungen der gemeinschaftlichen Punkte dreier Curven. 



In seiner berühmten Arbeit vom Jahre 1770, die in den Abhandlungen der Berliner Akademie ent- 

 halten ist, hat Lagrange die Bedingungen aufgestellt, dass zwei algebraische Gleichungen / (.v) = 0, 

 «(,v)^0 mehrere gemeinschaftliche Wurzeln, oder was dasselbe ist, mehrere gemeinschaftliche lineare 

 Factoren besitzen. Diese Aufgabe lässt sich in entsprechender Weise auch für das ternäre, quaternäre etc. 

 Gebiet stellen. Im ternären Gebiet wollen wir dieselbe in folgender Weise fassen: 



Die Bedingungen zu ermitteln, dass drei ternäre Formen /", ff, 'h i \'erschiedene 

 gemeinschaftliche Variablenpaare oder dass drei ebene Curven durch / an beliebigen 

 Stellen der Ebene befindliche Punkte je einfach gemeinschaftlich hindurchgehen. 



Nehmen wir an, die drei Curven /, 'f, '^ seien bezw. von den Ordnungen ;;/, u , p, so schneiden 



sich zwei derselben, z. B. / und 'f in r ^ um Punkten, deren Coordinaten .V|_v,, x^v^, ■■■, -i-VjlV sein 



sollen. Indem wir die letzteren der Reihe nach für xy in '\i {xy) substituiren, erhalten wir r verschiedene 



Werthe dieser Function t^ = -Jj,, /^ = 'J^j. • • •, A- =: '{'r. welche im allgemeinen von Null verschieden sind. 



Eine solche wird offenbar nur dann Null, wenn ein Schnittpunkt von /und 'f auf die Curve -J; zu liegen 



kommt. Die algebraische Gleichung, welche die Grössen 'J/i'jj^. . .-{j, als Wurzeln enthält, ist angegeben 



durch: 



T{t)= (t~-t,){t-t,)...it-i,:) 



= r-r-1 i-K +/■--!:']>,. K -.. .+(-i)''K'^2. • ■'!',■ = 0, 



wo X']^,, -'l'i'l'j, • ■ .. 'K'Pe- • •'!')■ die r symmetrischen Elementarfunctionen der Elemente '];,|j. . .-]),• bezeichnen. 

 Damit irgend ein Schnittpunkt von / und 'f auf die Curve -{; zu liegen kommt, muss eine Wurzel dieser 

 Gleichung verschwinden. Dies ist aber der Fall, wenn das letzte Glied dieser Gleichung 



wird. Diese Grösse stellt bekanntlich die Resultante der Functionen / 'f, '}< dar. Soll ausserdem noch ein 

 zweiter Schnittpunkt von /und 'f auf ■> liegen, so muss noch eine weitere Wurzel dieser Gleichung ver- 

 schwinden. Dies tritt bekanntlich ein, wenn nicht nur der Coefficient des letzten, sondern auch der des vor- 

 letzten Gliedes der Gleichung (1) Null ist. Daher sind 



R.-='M,-..'W = 

 i?,_, = !<);,<!.,... 'K_,=0 ^^^ 



die Bedingungen, die nothwendig und hinreichend sind, dass drei ebene Curven /, 'f, -^ durch zwei an 

 beliebigen Stellen der Ebene befindliche Punkte je einfach hindurchgehen. 



Allgemein wird einleuchten, dass / Wurzeln der Gleichung (1) verschwinden müssen, wenn / Schnitt- 

 punkte von /und 'f auf der Curve -^ liegen sollen. Dieser Forderung wird aber genügt, wenn die Coefti- 

 cienten der / letzten Glieder der Gleichung 7 (/) = Null sind. Wir sehen also, dass 



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