Die syuiiuctf. Fiiuctioueii der gemeiiisch. Variableupaare leriiärer Formen. 483 



die Bedingungen ausdrücixen, die nothu'endig und hinreichend sind, dass drei Curven durch / an beliebigen 

 Stellen der Ebene befindliche Punkte gemeinschaftlich hindurchgehen. 



Sollen sämmtliche r Schnittpunkte von/und 'f auf die Curve '^ fallen, so müssen sämmtliche symme- 

 trische Elementarfunctionen 



V.;.,, i:-^;,.!.,, s-KV^-a. ■•■. 'W'h- ••'!'.• (3) 



der Grössen >},, '\.^, . . ., '\, verschwinden. 



Jede dieser Functionen ändert sich nicht, wenn man zwei der Gruppen x^}\, .VjJ'j, • • • , x,}',- mit- 

 einander vertauscht. Dieselben sind somit symmetrische Functionen dieser Gruppen, d. h. der Coordinaten 

 der r Schnittpunkte von / und cp und können als solche durch die Elementarfunctionen derselben dar- 

 gestellt werden. 



Werden diese nach i?. \'l durch ihre Ausdrücke -j- in den Coetficienten von _/ und rp ersetzt, so sind 



die Bedingungen R allgemein durch die Coefficienten der drei P'unctionen J\ cp, -J; ausgedrückt. Da die 

 Elementarfunctionen der Gruppen .r,j', in den symmetrischen Functionen (3) im Grad p auftreten, so ist 

 jede der letzteren noch mit dem Factor ,4,',' zu multipliciren, um sie als ganze Functionen der Coefficienten 

 zu erhalten. Jede der Bedingungen (3) ist hinsichtlich der Coefficientenvon / und tp, bezw. vom Grad iip 



und III p und hinsichtlich derjenigen \-on <\, resp. vom Grad 1, 2 niii. Daher haben diese Bedingungen 



den Gesammtgrad, bezw. iip + uip+ 1, iip+iiip + 2,. . .np+piii + iiiii. 



§. 16. 



Die partiellen Ableitungen der Resultante. 



Ist die Resultante der drei Formen /, 'p und -{i wiederum dargestellt durch die r-förmige symmetrische 

 Function /?, — y'i'^j. . .•y',-, so erhalten wir hieraus auch die r— I-förmige Function R,— u indem wir iv, 

 nach den Elementen der Reihe ^'rt'a- ■ •'t''- ableiten und die erhaltenen Ableitungen addiren. Es ist deshalb 



Ebenso ist leicht zu sehen, dass (1) 



— J_ vü^ _ 



^.-=^.\^=^^.^.----^- 



u. s. w. ist. 



Wir können deshalb auch aussprechen den Satz: Die noth wendigen und hinreichenden 

 Bedingungen, dass drei Curven/, rp und •} / gemeinschaftliche an verschiedenen Stellen 

 der Ebene befindliche Punkte besitzen, sind ausgedrückt durch das Verschwinden der 

 Resultante R,- derselben und der Summen der partiellen Ableitungen erster, zweiter, .., 

 /ter Ordnung der letzteren nach den Elementen ■l^, '^j,...,-^,, welche man erhält, indem 

 man jedes gemeinschaftliche Variablenpaar von / und 'p in die dritte F'orm ']> substituirt. 



Nimmt man ^ in der Form an: 



■^ — c^xi'+c^x''-'^y+ . . . -i-c,_2-^+Cv_i.r + C;, (2) 



wo (,\ das letzte Glied oder auch eine willkürliche Grösse darstellen soll, so lässt sich R, auf die Gestalt 

 bringen 



R, = < + C x, + <"'-/.2+ • • • +c\x_ , + •/.,.. (3) 



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