Die syniiiietr. Fuuctioueu der gemeinsch. Variableupaare teruärer Formen. 48.") 



Denken wir uns die Formen /, rp, -^ mit :; homogen gemacht, so gelangt man offenbar stets zu der 



X y X z y z 



nämlichen Resultante, ob man die Verhältnisse — , — oder — , — oder — , — eliminirt. Wir schliessen 



z z y y ^ X 



deshalb, dass auch die partiellen Ableitungen nach dem Coefficienten von .r"' in / oder x" in <s oder .r'' in 

 •\i oder auch nach dem Coefficienten von _r'" in / oder y" in cp oder yv in -^ denselben Dienst leisten, wie 

 die partiellen Ableitungen nach den Coefficienten a-,,, b^, c-, von z'", z" und zi\ Wir erhalten infolge 

 dessen 9 Systeme von je /-Gleichungen; welche je für sich betrachtet, die nothwendigen 

 und hinreichenden Bedingungen darstellen, dass die drei Curven /, rp, ■} durch /-Punkte 

 der Ebene gemeinsam hindurchgehen. 



Sind beispielsweise /, tp, '^ drei Kegelschnitte von der Form 



so ist die Bedingung, dass dieselben durch einen Punkt der Ebene gemeinschaftlich hindurchgehen, dar- 

 gestellt durch die vierförmige Function 



R,^R[^ab c ]:^ Al-!^{x,y,y!^{x,y,yAx,y,)'^{x,y,) ^ 0, 



wo .v,j',. .Vjj'j, .v.,j'j, x,^y^ die Coordinaten der vier Schnittpunkte von / und 'p bezeichnen. Dieselbe ist 

 bekanntlich vom Grad 4 hinsichtlich der Coefficienten jeder der drei Formen f, 'f, ■^. Liegt noch ein weiterer 

 Schnittpunkt von / und 'p auf der Curve -^i, so muss neben R^ noch die dreiförmige F'unction 



1 



sein. Kommt schliesslich auch noch der dritte imd vierte Schnittpunkt \-on / und -^ auf % zu liegen, so 

 müssen ausserdem noch die Bedingungen erfüllt sein: 



4 



R, = Al^-^{x,y,y^(x,y,) = 

 1 



4 



1 



deren linke Seite, bezw. eine zweiförmige, einförmige Function der Coordinaten der Schnittpunkte von 

 / und 'f ist. Ersetzt man dieselben durch ihre Ausdrücke in den Coefficienten von /und rp, so erscheinen 

 die Bedingungen R^R.,R.^R^ in Function der Coefficienten sämmtlicher drei Curven/, tp und 'Jj. Es leuchtet 

 ein, dass man RgR^R^ auch erhält, wenn man R^ partiell nach (.'33 ableitet. Es ist 



''■■'-^c,,' ""'-^l,' "^'-34, ■ 



Neben diesen Bedingungen müssen gleichzeitig noch die partiellen Ableitungen \'on R^ nach b.^.^, ii.y^; 

 Cj2, ^'22, (722' "^ii' ^11' ^11 verschwinden. 



