4SH /•"/-. Junker, 



§.17. 



Die reducirte Resultante und deren Ableitungen. 



Haben die drei Curven f, 'f, '}* schon zum voraus gewisse bekannte Punkte der Ebene mit den Coordi- 

 naten a^b^, a^b^, . . ..gemeinsam, die für 



/ a,, 7.2 , 7.3, ... j 



'S ß, , p^' ßs' ■ ■ • > -fache Punkte sein sollen, 

 '> T,. l'i, Ys' • •• ) 



so ist die Bedingung, dass dieselben ausser diesen noch einen weiteren .Schnittpunkt gemein haben, nach 

 Herrn Brill dartrestellt durch die »reducirte Resultante« 



^ _. _!,, _*L - AP '^(^t>'i)'^^-'-'2J'»)- • •■^(^'-J^'-) 



" ^(p) " r>lT4-'p 



wo der Divisor p,- die Resultante der niedersten Glieder der nach Dimensionen von x—ai,y—b, entwickelten 

 Functionen /und rp bezeichnet. 



A ist wie oben §. 12 der Coefficient von /" in Gleichung (2), r ist die .Anzahl der Schnittpunkte \'on 

 /und rp, durch welche -J^ nicht zum voraus hindurchgeht. Diese Zahl ist offenbar r ziz »?h — Ia,ß,. Die 

 reducirte Resultante enthält demnach die Coefficienten von/, tp, ■^, bezw. im Grad 7;;' = ;/p— Sßj-f,-, 

 n' ^= pm — ^-{,'y.i, p' ^ »ui — Sa/ß,- und hat deshalb den Gesammtgrad m' + n'+p'. 



Es wird nun wohl keiner besonderen Auseinandersetzung bedürfen, um einzusehen, dass die Bedin- 

 gungen, dass die Curven /, (f, •} ausser den bekannten Punkten C^i\C^. . . noch weitere, an beliebigen 

 Stellen befindliche Punkte gemeinschaftlich besitzen, in derselben Weise aus der reducirten Resultante 

 herzuleiten sind, wie die entsprechenden Bedingungen aus der allgemeinen Resultante. Sollen dieselben 

 noch durch / weitere nicht bekannte Punkte P^P^. . .Pi je einfach hindurchgehen, so ist nothwendig 

 und hinreichend, dass die / Gleichungen bestehen: 



Ap 



K — V-i> i iL . — 



an deren Stelle auch die folgenden gesetzt werden können: 



«, = 0, 1^ = '^• = 0. 



t>. 18. 



Schlussbemerkungen. 



Zum Schlüsse sei noch bemerkt, dass die Methoden der vorhergehenden Paragraphen auch zur 

 Ermittlung der Bedingungen benützt werden können, dass eine algebraische Curve an beliebigen Stellen 

 Doppelpunkte besitzt. 



