Die synniwtr. Fitiiclioucu der genieiusch. Variableupaare Iciiuircr Formen. 487 



Eine solche hat im Allgemeinen keinen singulären Punkt, solange ihre Coefficienten a^a^a^. . .a, 

 beliebige von einander unabhängige Grössen derselben. Soll ein solcher an irgend einer Stelle vorhanden 

 sein, so müssen dieselben nothwendig eine Bedingung D,—Q> erfüllen, die man als Discriminante 

 \'on / bezeichnet. 



Da für jeden Doppelpunkt P mit den Coordinaten xyz der Curve / die Gleichung der Tangente 

 illusorisch wird, so müssen für denselben ausser / noch die partiellen Ableitungen verschwinden 



1^ = 0, ?^ = 0. % = 0, (1) 



welche mit / durch die Euler'sche Gleichung zusammenhängen 



4 + v|^ + ^^ = "^-- (2) 



X dy oz 



Die Resultante der drei Formen (1) ist die Discriminante von /. welche bekanntlich die Coeffi- 

 cienten im Grad 3 (m—l)^ enthält. 



Wie nun für jeden singulären Punkt P von / die partiellen Ableitungen (1) ver- 

 schwinden müssen, so s c h 1 i e s s e n wir auch umgekehrt, d a s s jeder gemeinsame Schnitt- 

 punkt der drei Curven (»z— 1)'"' Ordnung (1) ein singulärer Punkt von / ist. 



Wir erhalten deshalb die Bedingungen für die Doppelpunkte von /, indem wir diejenigen der gemein- 

 schaftlichen Schnittpunkte der drei Curven (1) aufstellen. Wie dies ausgeführt werden kann, haben wir in 



den vorhergehenden Paragraphen gezeigt. Setzen wir beispielsweise — = 'f und bezeichnen wir die Coordi- 



tiz 



naten der ;- = (»/— 1)^ gemeinschaftlichen Schnittpunkte von ;!- -- und — = mit x^y^, x^y^,. . .,x,y,; so 



sind die Bedingungen, dass die Curve// an beliebigen Stellen befindliche Doppelpunkte besitzt, angegeben 

 durch 



D, = 'f,'f,. . .'f,- = 0. A-, = S'f.'fj. . .'fr-i = 0,. . . A_,+i = S'f/f,. . .'f,_,+, = 0, (3) 



an deren Stelle auch die partiellen Ableitungen von Z),- nach dem Coefficienten von .v"' oder _v"' oder c'" 

 (oder auch nach dem Coefficienten von x"'--^y oder xy'"-'^ oder .v"'-'r oder £:'"-'.v odev y-h oder z"'-^y) 

 von /gesetzt werden können. Dies sind eben jene 9 Systeme von Gleichungen, die wir in §. 16 kennen 

 gelernt haben. 



Im Fall einer Curve 3. Ordnung müssen daher für einen Doppelpunkt derselben sämmtliche 

 partielle Ableitungen der Discriminante nach den Coefficienten ^r,,, a, , a^, . . ., a^ ver- 

 schwinden. 



in — 1 . ni — 2 ^ , , , , ,. , , j 



Da eine Curve ;»-ter Ordnung höchstens a = Doppelpunkte erhalten kann, ohne dass 



sie in niedrigere Curven zerfällt, so gibt das System (3) für /' = ^, t— 1, 5—2,... ganz allgemein die 

 Bedingungen an, dass dieselbe raüonal, vom Geschlecht 1,2, . . ist. Für />a muss die Curve nothwendig 

 zerfallen. Unter gewissen Umständen ist dies bekanntlich auch schon der Fall, wenn i^i ist. So zerfällt 

 beispielsweise eine rationale Curve 4. Ordnung in eine Gerade und eine Curve 3. Ordnung, wenn die drei 

 Doppelpunkte derselben in eine gerade Linie fallen. Diese Linie muss ein Theil der Curve sein. 'Kommen 

 die 6 Doppelpunkte einer rationalen Curve 5. Ordnung auf einen Kegelschnitt zu liegen, so sondert sich 

 letzterer als Theil der Curve ab, da er andernfalls mit der Curve 12 Punkte gemein haben würde, was 

 nicht der Fall sein kann. 



Hat die Curve f an gewissen Stellen schon zum voraus bekannte Doppelpunkte, so lassen sich die 

 Bedingungen, dass dieselbe ausser in diesen noch eine Anzahl weiterer singulärer Punkte an nicht 

 bekannten Stellen besitzt, in ähnlicher Weise wie in §. 17 durch die reducirte Resultante der drei Functionen 

 (1) und deren^artielle Ableitungen angeben, die wir in diesem Fall als reducirte Discriminante von/ 

 bezeichnen können. 



