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erhielt dadurch aber in der K'eihe der » von ^}■^.^ an bis zu \ wieder genau die gleichen Werte, ein Zeichen, 

 dass die Wahl von n = 24 doch hoch genug war und die genannte Abweichung blieb so bestehen. Um 

 sie zu beseitigen, lührte ich die ganze Rechnung zum drittenmale siebenstellig durch und erhielt so ein 

 genügendes Resultat. 



Ehe wir die gefundenen Rechenresultate für Hilda mittheilen, erübrigt noch eine Bemerkung über 

 das bei der directen Berechnung der ß'f'* einzuschlagende Verfahren. Man kann die ß einerseits berechnen 

 mittelst einer hypergeometrischen Reihe, und zwar: die Werte ßo'',ßo^', ßö'", ßö'', ßi"' ''^"s: 



'" ~ 2.4.6. ..2» (2 2«H-2 2.4 (2 » + 2) (2 « + 4) ( ^ ^ 



hingegen ß;.y,ß;-^ß;^^',ß;'3>,ß;|' aus: 



_. 1.3.5... (2»-l) 1 L ^ 1 ßM ^'^^-^^^ ^-^ ß^- I (72) 



^" ~ 2.4.6 ..2n ±\ 2 2m+ 2 ' 2.4 (2h + 2)(2« + 4) "^ ' )' ^ ^ 



( 1 — a^) 2 



wobei in (72) rechts in der Klammer; 



1 — a« 



ist. Im allgemeinen convergieren diese Reihen so schnell, dass schon nach Mitnahme einer kleinen Zahl 

 von Gliedern der Rest der Reihe numerisch zu vernachlässigen ist, indem z. B. die folgenden Glieder nicht 

 mehr in Betracht kommen, wenn man bei sechsstelliger Rechnungan ein Glied der Reihe gekommen, das 

 z. B. 0.000001 beträgt. 



Bei Planeten hingegen, für die a so beschaffen, dass die Reihen (71) und (72) langsam oder eventuell 

 gar nicht mehr convergieren, ist die Berechnung der ß mittelst mechanischer Quadraturen anzuwenden, 

 die auch andere Vorzüge, z. B. den der Selbstcontrole der Rechnung bietet. Das allgemeine Verfahren 

 der Bestimmung elliptischer Integrale auf diesem Wege besteht kurz in folgendem. 



Es ist: 



^j'/fif)df = <!> = 1 jl/(0°)+/(5°)+/(10°)+ . . . +/(85°)+ -l-f(90l\ (73) 



Setzt man indes einerseits: 



<I. = lji/(0°)+/(10°)4-/(20°)+...+/(80°)+ { (90°) j, (74) 



andererseits: 



<D =lä/(5°)+/(15°)+ ...-f-/(75°)+/(85°)i, (75) 



so liegt der wahre <1>-Wert zwischen den beiden durch (74) und (75) gegebenen, deren arithmetisches 

 Mittel also für <I> zu adoptieren ist, und wobei eine Rechencontrule darin besteht, dass (74) und (75) 

 nahezu den gleichen <I>-Wert ergeben müssen. 



Der Wert unseres elliptischen Integrales ß',f ergibt sich demnach als Mittel aus den zwei Werten 



1(1 sin2"(0°) sin2"(10'') sin-" (80°) 1 1 | ,_„, 

 ß;f) = — ) ^—^ ^ H !^ j + . . . H ^ ^ + Y j (76) 



9 ( 2 |-i_gj2sin2(0°)y2 [1— a^sinä (10°)] 2 [1 a2sin2(80°)]2- [i_a2]T) 



1 ( sin^"(5°) sin2"(15°) sin^" (85°) ) 



ßlf := -q- . ^ + 7 + . . + 7 , {.'O 



' [1 — a-sin2(5°)]2 [1— a^sin2(15°)]2' [1 -aäsin2(85°)]2 ) 



die für das bestimmte a des betreffenden kleinen Planeten numerisch auszurechnen sind. 



