344 H. Buch holz. 



Die Berechtigung davon, dass man in dieser Weise ;'r' durch v ausdrüci<t, erhellt wie folgt. Nach 

 Gleichung (31) ist; 



;V=[x?'j;+?'ß + ?'G + .J.?'r, 



Da nun ?' eine äußerst kleine Tlröße ist, so kann man c' G und fj,?'?' fortlassen, erhält also; 



c!v' = \).c.'v + q'B 



oder: 



Jetzt bezeichnet man; 



Dann wird; 



c!i>'+Ti' = [i.c.'v+Ti'+z'B. 

 c'r' + K' — c,?' + 7r,. 



wo 



?, und :r, bekannt sind, da ;'-' und A' durch die Jupitertheorie gegeben sind. 



Um jetzt cos u{v—v') als Function von v zu entwickeln, entwickeln wir zunächst y/ sin \',' nach dem 

 Taylor' sehen Satze; 



— ■i\ sin (7^'j — Vj — Li) =: — ■({ sin {n\ — \^ + f(G cos (Wj — v,)— . . . (35) 



Sowohl bei der nun folgenden, wie hei sehr vielen späteren Entwickelungen, so bei Bestimmung 

 der elementaren und charakteristischen Glieder für Hilda, bei Bildung und bei Integration der 

 Differentialgleichung des Hildatj'pus u. s. f. hat man immer da, wo Producte \'on trigonometrischen 

 Functionen auftreten, dieselben durchweg in die algebraische Summe der Summe und 

 Differenz dieser Functionen zu zerlegen, was bekanntlich mittelst folgender F'ormeln geschieht; 



sin a.sin ß = — cos (a + ß)+ — cos (a— ßj 



sin a.cos ß = — sin (ot+ß')4- -- sin (a— ß) \ (36) 



cos«. cos ß ^ -5- cos (a+ß)+ — cos (a — ß). 



Setzt man nun Gleichung (35) in (32) ein, so folgt, wenn man bloß bis zum I. Grade inclusive geht; 



G = — 2[J.Tj sin \: — 'l-(( sin (n\ — \\) 



also, wenn man diesen letzteren Wert in (35) einsetzt; 



Yj' sin \\ =z —■(! sin {w^ — v,) — 2 [V(]-r( sin v cos (w, — v, )— 2 [j-yj'- sin {n\ — v,) cos (n\ — \\) 



oder mit Hinblick auf die Grundformeln (36); 



t/ sin v'i ^ — Y sin in\ — \\) — |xrjY]' sin(w,+v -v,) + |xYjYj'sin {n\ — v — \-,) 

 — y/- sin (2w,--2v,) + Glieder 3. Grades etc. 



