Betveguii^i; vom Typus 2/3 im Dreikörperproblem. 383 



Die fiir i?t und Ri erhaltenen Ausdrücke sind nun in die Werte (15) und (lü) von P und wirklich 

 einzusetzen, um zum Inbegriff aller für die Planeten der Hildagruppe existierenden elementaren und 

 charakteristischen Glieder inclusive bis zum 2. Grad zu gelangen. Bei der Ausmultiplication der trigono- 

 metrischen Reihen hat man nach unserem Princip nach den Gleichungen (36), Cap. II bloß die lang- 

 periodischen und kurzperiodischen Glieder zu berücksichtigen, alle anderen Glieder aber, die bei 

 der Zerlegung der Producte in Summen und Differenzen entstehen und die verschiedenartigsten neuen 

 Argumente aufweisen, zu verwerfen; mit Ausnahme jedoch der gewöhnlichen Glieder in Q vom 

 Argument: 



6w, 3n>+v, 3w-f-Vj 9n> — v, 9w — v,, 



da diese, wie sich zeigt, für den Tj'pus -/.Jn Jgroß werden. 



Ehe wir das Resultat dieser ganzen Operation, die zur Controle zv\-eimal unabhängig und während 

 des Druckes noch ein drittesmal durchgeführt wurde, angeben, soll bei den Gliedern der dritten Ordnung 

 0. Grades in P gezeigt werden, wie dieselben gefunden werden. Da offenbar, weil es sich um den 0. Grad 

 bei diesen Gliedern der dritten Ordnung handelt: 



RfJ\t := pjYj cos 3iv sin 3n> := — ß^Yi sin 6iv 



V,- := '(- Sin- 3iv ■= — ■(■- •(■- cos bw 



ist, so geht der in Gleichung (15) für die Glieder dritter Ordnung in P gefundene Ausdruck über in: 

 — Bl■^^^ ßf cos 3n' + -- B^^'^ ß^ ^os 6w' cos 3fv+ — Bl^^ ß'f cos 6«- cos 9fv 



-\ [i,5.j' y'y ßj Yj sin 6w sin 3w+ — \iB^-^^[i^'i^ sin (iw sin div 



9 9 81 



[J-'-ßs.o.oYi cos 3w+ — {i-^Bs.o.o'd cos 6w cos SwH \i-^Bcj q 07? cos ßiv cos 9n' =z 



4 4 4 



= jl B^l. + \ BlS.0 + ~ 5|.o°.o I ßl '^os 3k; 



+ |~ H-^:';o°,o+ l I^^J.o.o I ßiT. cos 3«; ) (25) 



(9 9 81 ) 



-^ \ \).^Bs.o.Q + — (A^^s.o.o H [A^-ßg.o.o} f, cos 3w 



[4 8 8 j / 



Die Glieder dritter Ordnung in findet man analog. 



Combiniert man schließlich die Glieder gleicher Argumente und ordnet, so findet man als W'erte von 

 P und Q bis inclusive Gliedern 2. Grades für den Typus ^/^ die folgenden definit ivcn Ausdrücke, welche 

 in die allgemeinen Gyl den 'sehen Bewegungsgleichungen einzusetzen sind: ' 



' Dabei sind aber in dem Wert (2G) für Q, wie in der zweiten .'\bthcilung dieser Untersuchungen dargethan werden wird, 

 nocli eine .•\nzahl gewöhnlic her Glieder zweiten Grades mitzunehmen, die bei Berechnung der .Störungen 2. Grades in Multi- 



plication mit — neue elementare und charakteristische Glieder ergeben. Denn in der Differentialgleichung (6) des IV. Capitcls für p 



'^^ fdR\ 

 tritt ja die Größe Q^ I 3^ I auf. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Classe. Bd. L.X.XII. 5q 



