Bewegung vmu Typus 2/3 hu Dreikörperproblem. 



371 



Da R selbst, wie sich zeigen vvii'd, durch eine trigonometrische Reihe gegeben ist, so treten bei der 

 Multiplication dieser zwei trigonometrischen Reihen in Pjj^ neue Argumente auf, wenn man mit Hinblick 

 auf die Fundamentalformeln (36) des zweiten Capitels die Producte der trigonometrischen Functionen 

 zerlegt. Dabei setzt sich allgemein die Periode des Productes der langperiodischen oder kurzperiodischen 

 Functionen / und 5 additiv und subtractiv zusammen aus den Perioden der Functionen selbst. Denn sei: 



y( z= m cos (xv + l^) 

 i =r II cos (yi'+l.2), 



wo w. /;, /p ^2 Constante und durch ,r die Periode von/, durch j' diejenige von | gegeben ist, so sind, 

 wenn ar und _}' nahe gleich sind, ■/ und J langperiodische, wenn .r und _j' nahe gleich 1 sind, kurz- 

 periodische Functionen. Und da: 



■/ .i = ,y Hill cos |('.v+_v)!' + /j + /,] + — mit cos [(x—r)u + l^ — l.. 



(7) 



so bestimmen x+y und x—y in der That die Perioden des Productes. Speciell ergibt das Product zweier 

 langperiodischen Functionen eine langperiodische Function: 



Ferner gibt: 

 und es kann gehen: 



y.i • ^i = 'h- 

 V.i ■ ^k = 'l'A- ; yßk = 'h+'h • 7.'% = 'h ; 



(8) 



Fassen wir also durch Gleichung (6) zuerst den langperiodischen Theil von R ins Auge, so ist x 

 in (7) gleich zu setzen. Suchen wir dann den Theil des Productes von 7?, mit Klammergliedern, für 

 welchen x+y, respective x — y entweder oder 1 wird, so tritt dies, bei x = 0, ein für_;' :=: und y := 1. 



Der Factor von v aber wird im ersten Gliede von (6) gleich für ii ^ und nahe gleich 1 für n ^= 3, 

 wodurch das langperiodische Glied Bl^\!^ ^ und das kurzperiodische B\"-^ ^ cos Sw entsteht. Für das 

 zweite und vierte Glied wird //(l — [J-^j+l gleich 1 für ?/ =r 0, man erhält also die kurzperiodischen 

 Glieder 5+,'q^-°-^ cos v und 5 +J|'j'^rj' cos v^. Während im dritten und fünften Gliede n{i — [tg) — 1 gleich — 1 für 

 « = 0, nahe gleich für «:=3, und schließlich nahe gleich +1 für « = 6 wird. So folgen die kurzperiodi- 

 schen Glieder ß^j'g'^Y] cos v und i?~|]j'''Y cos Vj; ferner die langperiodischen 5^,'^^-'^7] cos (3w — v) 

 und B ^l^-\^rj cos {3■^v—v^)■, schließlich die k u r z p e ri o d i s c h e n Glieder B-\\f-fi cos (Gtv—v) und 

 B^Q^^-rf cos (ßrv — v,). Von diesen Gliedern fallen indes zwei fort, da allgemein: 



■^111(1 — " ' 



^-1.1.0 _ 

 -^ u.ü.l — ^ 



ist. Einen Theil der zu berücksichtigenden Glieder zweiter Ordnung erhält man also, indem man R 

 multipliciert mit folgenden Klammergliedern: 



(P,,), 



ßi.a 

 •"o.o.o 



B-[l-° -q cos (Sw—v) 

 B-l-\-^icos{3fv-v,) 



Bll^cosStv 

 B+\yri cos V 

 5+J:J0ri'cosv, 

 5g-J;i-0 7)cos(6w— v) 

 B-l\-^icos{6fv-v^). 



(9) 



