Bcirci^iiui; vom Typus 2/.'y im Drciköi'pcypi-oMcyH. 331 



Zweites Capitel. 



Die Gylden'sche Darstellung der Störungsfunction und ihrer Derivierten in 

 der Brendel'sehen Form und die numerische Entwickelung für Hilda. 



A. Der allgemeine Gang der analytischen Entwickelung. 

 a) Erster Weg. Successive Berechnung der ß, ■{, 12, P und 0, A und B. 



Die Entwickelung der Störungsfunction, welche, \-olIständig durchgeführt, bei Gylden einen 

 beträchtlichen Theil seiner Schriften beansprucht, wollen wir hier wenigstens in ihren llauptzügen 

 insoweit andeuten, dass die folgenden l'ür Hilda durchzuführenden Rechnungen nicht bloß den Charakter 

 eines zu befolgenden Rechenschematismus, sondern das Gepräge eines verständlichen Zusammenhanges 

 erhalten. 



Die eigentliche Schwierigkeit der Integration der für S und p gewonnenen Differentialgleichungen 

 liegt offenbar in den Grüßen /-" und 0, insofern als diese die partiellen Derivierten der Störungsfunction il 

 sind, diese letztere aber den irrationalen Theil: 



1 1 



A \/r-' + r'ä- 2 rr' cos// 



enthält, der einer directen Integration hinderlich ist. Da man durch Ralionalmachen nichts gewönne, weil 

 sich dadurch Gleichungen vom achten Grade ergeben wüi'den, so besteht der einzig mögliche Weg in 

 einer Reihenentwickelung, in welcher jedes einzelne Glied integrabel ist. Der Charakter der fürQ und damit 

 zugleich der für P und anzusetzenden Reihenentwickelung ist natürlich durch die Differentialgleichungen 

 in keiner Weise bedingt, vielmehr an sich wif kürlich. Jedoch ist klar, dass die gewählte Form der Reihe 

 auch a priori die Form bedingt, in der man die Integrale 5 und p erhält. Laplace entwickelt il nach 

 Potenzen von r und r', dann aber entwickelt er r und r' nach Potenzen von c und c' durch Kugel- 

 functionen, und zwar entwickelt Laplace nach Vielfachen der mittleren Anomalie (also der Zeit). 

 Gylden hingegen entwickelt il in eine nach // und nach Potenzen von r und r' fortschreitende trigono- 

 metrische Reihe, die er in eine Entwickelung nach Potenzen von p, p', tj und y/ überführt, wobei er im 

 Gegensatz zu Laplace nach Vielfachen der wahren Länge entwickelt. 



Da A wieder denselben Wert annimmt, wenn H sich um 2z ändert und dabei r und r' ungeändert 

 bleiben, so ist A — wenn man von r und r' absieht — eine periodische Function von //und lässt sich 

 darum in eine Fourier'sche Reihe nach H entv\ickeln, die unbedingt convcrgiert, eine gerade I'\mction 

 ist und nur Cosinusglieder enthält, vorausgesetzt, dass a nicht unendlich und A nicht Null wird. Jedenfalls 

 ist also: 



-|- = i?„ 4- 'IR, cos H+ 2R.. cos 2H+ ..., ( 1 j 



wo ein beliebiger Coefficient repräsentiert ist durch den bekannten .\usdruck: 



R. = ^' f" , cos«>H j^_^ ^ ^,,^ 



71 JJ \/r'^-i-r''^ -2rr' COS <^ 



