Bewegniii! vinii Typus 2/.? //;/ Dreikörperproblem. 415 



(1 — ijL^)'' um 2:r wächst. Ist dabei [i.., rational, so wird die Bewegung periodisch, da dann die Störungen 



bei einer ganzen Anzahl von Umläufen denselben Wert annehmen. Dies ist der F'all der strengen 



Libration: o^ = 0. Der Umlaut' oder die Periode des ungestörten Planeten ist 2z, diejenige der 



2% 2 



Störungen . Ist also z. B. im Falle eines Planeten vom Hildatypus a., = ^r-, so ist die Periode der 



1 — ]!., •' "^ ' - 3 



StörLingen 6-, d. h. drei Umläufe: d. h. nach drei Umläufen haben die Störungen wieder genau denselben 



Wert angenommen, wähi'end der Planet nach ein, bezüglich zwei Umläufen nicht an dieselbe Stelle 



kam. Die Bewegung hat dann also die Periode dreier Umläufe. 



Wird speciell in den charakteristischen Gliedern: 



sin (3tv — v) = sin {^.,v — 3B--3\).Ti+\\i 



n' 2 



0., =^ 0, also [i.^ =: ^ rational, d. h. streng gleich — , so verschwindet v ganz aus dem Argument, es 



bleibt nur: — sin (3iJ + 3[j,J'/ + II; und da in T; auch v aus den Argumenten verschwindet (abgesehen 

 von den Gliedern der Form A), so wird in diesem besonderen Falle: 



sin (3;f — v) == sin [ const. — sin j const. — sin [ const. . . .J j j = const. 



Die Glieder der Form C hören also überhaupt auf zu existieren, d.h. sie werden constant 



und es tritt strenge Li bration ein. Diese Unterscheidung von u.j und [>.., muss bei allen, auch den 



gewöhnlichen Planeten gemacht werden, ist bei diesen jedoch unwichtig, da hier dieser Unterschied 



sehr klein ist. Ist dieser Unterschied jedoch groß, so sind solche Fälle, falls nur äußerst genäherte 



Libration eintritt, nur nach der Gylden'schen und nicht nach der alten Störungstheorie lösbar, 



welche letztere diesen Unterschied von ij-j und {>.., nicht kennt. Der Fall der genäherten Libration 



^ 11 ' u 



tritt ein, wenn 3., nicht =: 0, aber sehr klein ist. Setzt man ij.., =r — , wo ;;., =. , so repräsentiert «., 



- II., - 1 + 7 ' 



diejenige mittlere Bewegung, bei deren Commensurabilität zur Jupiterbewegung Libration eintritt. Von der 



Größe H,, »der mittleren Bewegung in Länge«, hängen aber gerade die wahren Umlaufszeiten ab 



und die Berechnung von h, ist später bei Berechnung der Bahn von Hilda erforderiich zur Berechnung 



der Argumente der auftretenden trigonometrischen Functionen. Indes liegt ein weiteres Eingehen auf die 



interessante und schwierige Frage der Libration nicht innerhalb des Rahmens der hier zu lösenden 



Aufgabe. 



B. Die Integration für den i. Grad bis inclusive Glieder II. Ordnung. 



a. Die genäherte Integration bei constantem -q, ■((, n, z^. 



Die Integration unserer Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der Glieder I.Grades wird 

 schon complicierter als die Integration für den 0. Grad. Wir haben bereits im 1. Capitel, bei Einführung 

 der Gylden'schen Definitionsgleichungen für den Radius vector (8) und die Flächengeschwindigkeit (9) 

 daraufhingewiesen, dass tj eine langperiodische Function sei, und ebenso ist n eine solche. Die 

 Bestimmungsgleichungen für diese beiden Functionen werden wir jetzt bei Integration der Differential- 

 gleichung für {1 gewinnen. 



Entsprechend den in der Natur wirklich herrschenden Verhältnissen sind aber -q und - sehr 

 langsam veränderliche Größen, und daher erhält man schon eine gute Näherung, wenn man sie als 

 constant betrachtet. Diese Annahme ist aber in rechnerischer Beziehung von großem Vortheil, indem 

 die numerisch auszurechnenden Integralformeln für diesen P'all bedeutend einfacher werden, als bei der 



Denkscliriften d. in.ithein.-n.iluiiv. Classe. LX.XII. BJ. ^4 



