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b) Die strenge Integration bei variabeln T|, tj', 7t, tt,. 



Das allgemeine Verfahren. 



In Abtheilung a sind wir dadurch zu den Integralen unserer Differentialgleichungen gelangt, dass 

 wir den formell bekannten Integralansatz differentiierten und die so erhaltene Form der Differential- 

 gleichung mit der direct abgeleiteten verglichen, wodurch sich die unbekannten Coefficienten des 

 Integralansatzes ergaben. 



In dieser Abtheilung wollen wir die Integration der Differentialgleichungen direct ausführen, was 

 natürlich im Resultat auf ganz dasselbe hinausläuft. Nur werden wir jetzt rj, tj', 7t, Tt^ als variable Größen 

 betrachten, wie sie das in der Natur ja wirklich sind. Dabei können wir uns kürzer fassen, weil wir 

 bereits in Besitz der zur Integration fertigen Formen der Differentialgleichungen sind, die wir einfach der 

 Abtheilung a entlehnen. Hervorgehoben sei aber noch, dass die im Folgenden gegebenen Vorschriften, 

 durch partielle Integration der Variabilität von tj, t/, t:, 7tj Rechnung zu tragen, indem man die 

 «Zusatzglieder« hinzufügt, auf alle Glieder anzuwenden sind, mit .'\usnahme der elementaren, 

 bei denen nicht partiell integriert werden darf, sondern T| und ;: von vorneherein als variabel anzu- 

 sehen sind. 



Wir haben bereits in Abtheilung ti gesehen, wie man durch partielle Integration der Variabilität 

 von Ti im Winkelargument der trigonometrischen Functionen Rechnung trägt und wollen nun zunächst 

 zeigen, wie man nach Gyldcn das Princip der sogenannten partiellen Integration: 



^lldv =: UV — J Villi (125) 



verwertet, um die Variabilität der langperiodischen Functionen tj, tj', 7t, 7tj zu berücksichtigen. 

 Offenbar ist, da v= (1— ?)i' — ti: 



Jtj sin (nw — v)clv = Jtj cos z sin [nw— (1 — <;)t']c/i^ + Jtj sin 7t cos [7tiv—{l~i;)v]dv, 

 also: 



J-(] sin {uw—v)clv = T] cos 7t Jsin [nii>—{\ —!;)u]ilv-hri sin 7t Jcos [um — (1 — !;)i']r/(' 



(126) 



— I — — \^\n[nw — {\—c.)v\du^ — I --- / cos [ww— (1 



-z)v\dv'. 



Nach Formel (63) ist aber: 



/ 



|H/i'=fc (1 — ?)('!'/'' = =F--; ^ — r^ — ^ • l«"'±(i ?)''! + 



cos «(1-1J.,)±(1-?) Sin 



HU. f'dV sin , ,, . T , 



■ I \nu'-i-n :)i']du. 



+ //(1-1J-,)±(1- ?)j du cos L -^ ■■'I 



Daher wird, wenn wir vorerst vom zweiten Glied in (126) absehen, damit das Princip deutlicher 

 hervortritt: 



/Ti sin (nw—v)dv = — ^ zl—ri cos u cos [«w— (1 —c,)v] + -q sin 7t sin [niV—-(\ --?)vlj j 



1 ( C'!'^ cos i: r /. ST, f 'i'^l sin tt \ -, , \ 



"(1 — f-i)-(l-c) (j dv J dv ) 



