462 H. Buch holz, 



weil die größten Glieder in Gleichung (9) rein von der Ordnung der störenden Masse sind. Denn wenn; 



a =^ b + c, 



so ist jedenfalls; 



a zmb, wenn b> c, 



aber: 



a nr c, wenn b < c 



ist. Und da /^ßj < ;«', dagegen /^ zsz in' ist, und das größte Glied den Ausschlag für die Größenordnung 

 gibt, so ist eben jetzt a„ rein von der Ordnung der störenden Masse. Da aber a^ der constante Theil von 

 6',, und (jj znz ni' ist, so ist auch; 



So 3: m'. 



Es wird dann also S„ hinreichend klein, was die nothwendige Bedingung für die Convergenz unserer 

 EntWickelungen ist. Denn wenn S,, groß wäre, so wären auch i?^, r„ und A'„ groß und damit die 

 Entwickelungen von P und Q, die nach R^ und /vjj fortschreiten, divergent, was jetzt indes nicht 

 der Fall ist. 



Würde hingegen für einen Planeten: 



wo er dann »kritisch« wäre, und convergierte nun Sj gegen Null, so würde offenbar ßj nach der 

 Gleichung (8) immer mehr wachsen und für einen Wert von 3,, der rein von der Ordnung m', derart, dass; 



2 §1 + 52= +;;" 



3 



wäre, würde ßj = co. Mithin würde dann auch y = — ß'^ über alle Grenzen wachsen. 



Nach der Gleichung (7) aber würde, wenn y bei constantem 5 wächst, 3^ immer größere negative 



Werte bekommen und daher ß^ nach Gleichung (8) immer kleiner werden, was dem obigen widerspricht. 



Thatsächlich kann ßj nicht so klein werden, dass ßj = v/S wird, und man erkennt somit 



vorläufig schon allgemein, dass 3^ nicht unter eine gewisse Grenze herabsinken kann, während ßj nicht 



über eine bestimmte Grenze hinauswachsen kann, deren Werte wir jetzt präcisieren wollen. 



Wollte man, wenn 3, beliebig klein wird, also bei kritischen Planeten, «„ so bestimmen, dass der 

 ganze constante Theil der Differentialgleichung für die Zeitreduction verschwände, also auch -(■ ^ U 

 würde, so wäre offenbar: 



ß'f 3> m\ 



denn es ist, wenn 23j > p' ist; 

 und, wenn 2 3j</?' ist; 



ßi 



P' ^ 



2\ + ^-p" 





also ßj un 1, d. h. von der nullten Ordnung in Bezug auf die störende Masse und somit auch Ll^, ^n 1 und 

 S^^znz 1 und die Entwickelungen würden dann also divergent. Denn wenn sie auch eventuell nicht gleich 



divergierten, wenn S„ nur um ein weniges größer als würde, so würde doch, wenn z. B.- 



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offenbar Oq sehr groß werden, wenn Oj sehr klein würde, die Reihen für/-" und Q dann also sicher 

 divergent. 



