H. Buch holz. 

 Allgemein ist nun die L/lsung einer cubischen Gleichung: 



gegeben: 



4 m^ 



I. Wenn 1 H >0 ist, durch die eine reelle Wurzel: 



27 n' 



4 / '4 



• ^ ' " (30) 



4 7;;^ 



II. Wenn 1h — ^0 ist, durch drei reelle Wurzeln. \-on denen zwei einander gleich sind, 



27 »2 



niimlich dinch: 



3/ 11 



•^1 — ü-i — -*- \l ., 



r, 3/ n 

 ■^3 - -^ \/ 2 



(31) 



4 m^ 

 III. Wenn 1 H < ist, durch drei reelle Wurzeln. In diesem Falle löst man die cubische 



27 7/2 



Gleichung bekanntlich trigonometrisch, indem man setzt: 



/ 27 



sin3a = «v/ ^ (32) 



V 4w^ ^ 



und erhält die drei Wurzeln: 



gi= \/ - 3- »' sin a 



52=: y^j——m sin (60 — a) ) (33) 



^3 = — V/ — -3"' sin(60+a) 



Eine Controle der Cardanischen F'ormel (30) für die numerische Rechnung erhält man durch eine 

 trigonometrische Substitution. Äqui\'alent der F"urmel (30) ist nämlich: 



1. wenn 111 > ist: 



2 2/1 



2,W / (34) 



lim 3/, — V 3 



</tg^ 



2. wenn iu < ist: 



sin 2(0 



9 



m" 



V V 27 



V V "2y-*"" -V V"27-'^''^^' 



■ :<■> (3ö) 



I ...., 



