48 Lorenz Zmur/co. Über Kriterien höherer Ordnung etc. 



oder 



D^ 3» -+- £ [s p D' p (Z>' ! *- ' »)] = s" (A" 5) 2 *' 



i 

 und auch 



1 29 . D'^' SEB ■+- £, k «p] = s"{ N' 6) 2 *' 



i 



endlich in Folge der in (17) ersichtlichen Bildung der Ausdrücke M x , sowie in Folge der Bedingungen (25) 

 erhält man aus (29) die Relation 



(30) tA/*»')= Ä " 6 ' V ' 



aus welcher in der gepflogenen Weise geschlossen wird, dasa das vorgelegte Integra! sich im Maximum oder 

 Minimum befindet, je nachdem erweislich das entsprechende gemeinschaftliche constante Vorzeichen der aus 

 (29) (26) gezogenen s"-Werthe mit dem ebenfalls constanten Vorzeichen von A, A 2 ...A,. sich verschieden oder 

 übereinstimmend ergibt. 



Wenn wir in der stutenweise aufeinander folgenden Untersuchung der Ausdrücke M,,, M* % >, .¥ 2x <<,... 

 fortschreitend jedesmal eine Hindeutung' auf dasselbe constante Vorzeichen der nicht verschwindenden Werthe 

 dieser Ausdrücke bestätigt finden, so müssen wir mit Rücksicht auf den Umstand, dass jedes folgende .1/ von 

 einer grösseren Anzahl von Bedingungsgleichungen begleitet wird als das vorhergehende, endlich zu einem 

 Ausdrucke M iv (ji) gelangen, dessen constantes oder nicht constantes Vorzeichen einen unzweifelhaften Schluss 

 auf den eigentlichen Zustand des vorgelegten Integrals gestattet. 



Die Ableitung des Resultates (8) §. 3 der vorigen Abhandlung und des Resultates (30) in dieser Ab- 

 handlung, beruht, offenbar auf der besonderen Eigenschaft der Bedingungsgleichungen, welche in beiden 

 Fällen in Bezug auf die als Variable gedachten Argumente ip homogene Functionen, und zwar im ersten Falle 

 des ersten, im letzten hingegen des (2x — l)ten Ranges darstellen. Die Ableitung des Resultates (21) betritt 

 die Untersuchung des Ausdruckes .l/._, x , welcher ursprünglich von ß-+-v—h homogenen linearen Bedingungs- 

 gleichungen begleitet war, welcher jedoch an die Stelle des ursprünglichen Variationsmoduls D = D t i^ -+- 

 D t ty t -+- ...-+- -Dp,'/',* den auf Grundlage der linearen Bedingungen reducirten Variationsmodul D'= 1^,-t- 

 DL ta-t- . . . -+- D' h ^ in seinen Bau aufnehmend, von da ab ohne weitere Rücksieht auf diese ßedingungs- 

 gleicbungen das verlangte Resultat (21) vermittelt. Bei der Aufnahme der Untersuchung irgend eines bestimm- 

 ten Falls ist es rathsam, schon im Ausdrucke il/ 2 den Variationsmodul D auf Grund der vorliegenden Be 

 dingungen vj 1 — v t = ...= r? v — zu reduciren, um dann mit gleichem Erfolge die weitere Untersuchung 

 unabhängig von diesen Bedingungen zu führen. Bei dieser Gelegenheit wird man ein etwaiges identisches 

 Verschwinden von ]\1 2 auf der Stelle wahrnehmen, und sofort zur Untersuchung der weiteren -1/ schreiten, 

 bis man zu einem nicht identisch verschwindenden M gelangt. Ist dann das erste nicht verschwindende M un- 

 gradbezeigert, so schliesst man ohne weitere Forschung auf das Nichtvorhandensein eines Maximums oder 

 Minimums. Ist jedoch das erste nicht verschwindende M etwa der Ausdruck J/ äx , so wird die weitere Unter- 

 suchung in der eben in diesem Paragraph exponirten Weise angelegt und fortgesetzt, uns schliesslich den 

 Znstand des vorgelegten Integrals unzweideutig erkennen lassen. 



- - -s-er 



