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so wird damit besagt, dass die Argumente tp im Bereiche der Veränderlichkeit von x nur mit den endlichen 

 Functionen N' und 6 gleichzeitig verschwinden dürfen. Die Beschaffenheit von 8 und N' bietet uns dagegen 

 vollkommene Bürgschaft dafür, dass ein gleichzeitiges identisches Verschwinden der -^-Functionen nicht statt- 

 finden darf, und dass die ^-Functionen im Veränderlichkeitsintervalle stets endliche Werthe beibehalten 

 müssen. 



In Bezug auf die Stabilität oder NichtStabilität des Vorzeichens der Functionsvverthe vom M iyt bestimmen 

 wir die Hauptwerke von A/ 2x und bezeiebnen solche, wie früher mit (J/ 2x ). Hiebei werden die Werthe von 

 üb,, x t .. x r als constant, und nur die Functionen -\> als Variable angesehen, welche übrigens an die einzige in 

 (19) ersichtliche Bedingung geknüpft sind. Zu diesem Zwecke haben wir in üblicher Weise mit Rücksicht auf 

 (16) und (17) 



W„ = M u ■+- -^5 « = [D' Jx ® ■+■ s'n] : iV'% 



8$t H = [ 2 * 01/(0'*—* SB) -+- «' Zr,} : iV-x = o 

 SD' = D' ty, -f- Z>^ * ^ -+- . . . -+- # Ö > Ä , 



3r, = 2 X [^»-< o^H-^-'^H-...^*-"^] , 



■0 Ä 



sm,* = *\ s 



N'** Up 

 1 



und können für ein passendes s' die Variationen o^,, o^...*?^ als willkürlich betrachten, und zur Bestim- 

 mung der zu den Hauptwertben (M 3x ) führenden Functionen •£,, ^ z ...^ h und des Coefficienten s' nebst der 

 Gleichung (19) noch folgende Gleichungen aufstellen: 



(20) 2( 2 = ^'(Z»'«"-'©) = .s'^*- 1 , 



^u-i'u/^-'äö)^*'^- 1 . 



Wenn man die Gleichungen (20) der Reibe nach mit tp i; ip 2 . . . ip A multiplicirt und bei der Summirung der 

 multiplicirten Gleichungen die Relation (19) und das Bildungsgesetz (17) berücksichtigt, so erhält man: 



( 0\ ^ -^ Z^ a h- . . . +- D' p $ h ) (ZJ' 2 *-' SB) = s' (ß NT< 

 oder 



(21) I &*,) = s'(h Ny* : N' 3 * = a- 9 2 ' , 



und im Gefolge dieser Relation, folgenden Satz: 



Die Hauptwerthe von M 2x und hieinit auch sämmtliche im vorgeschriebenen Verän- 

 derlichkeitsintervalle liegenden Werthe von M,. A b e Urkunden einconstantes V o r z e i c h e n 



(22) oder nicht, je. nachdem die aus den Gleichungen (20) gezogenen reellen Werthe von s' 

 gleichbezeichnet erscheinen oder nicht. 



Bezeichnet man das gemeinschaftliche Vorzeichen der reellen aus (20) gezogenen 

 Werthe von s' mit j s > und das constante Vorzeichen von A, A 2 ...A,. mit $ v , so befindet sich 



(23) das vorgelegte bestimmte Integral S = <e im Maximal-oder Minimalzustande, je nach- 

 dem die Zeichen pro du cte j, y und yfo gleichzeitig negativ oder positiv sich ergeben. 



Wären unter den Systemen von s', -^, , ■p z ...^ h , welche aus (19) und (20) gezogen werden auch solche 

 reelle Werthsysteme vorhanden, bei welchen s' identisch verschwindet, wären .'onst alle übrigen nicht ideßi 

 tisch verschwindenden «'-Werthe im gegebenen Inten al mit dem gemeinschaftlichen constanten Vorzeichen },- 

 versehen, so schliesst man daraus auf Werthsysteme von -p , welche der Function M ix Nullwerthe beibringen, 

 und eben desswegen der 2xten Variation des bestimmten Integrals die Kraft benehmen, in Bezug auf den 

 schliesslichne Zustand des vorgelegten bestimmten Integrals eine Entscheidung herbeizuführen. 



