Über Kriterien höherer Ordnung etc. 45 



A a = A t = A t = . . . = A h _* = A h _ t = (14) 



veranlassen. Diesfällig gilt s = als eine Ä-fache Wurzel der Gleichung (1). Sind ausserdem die noch übri- 

 gen Wurzeln dieser Gleichung sämmtlich gleich bezeichnet, so wird hiedurch eine Anhoffung eines Maximums, 

 beziehungsweise Minimums von <s begründet. Ob dies wirklich eintritt, stellen wir in Bezug auf die durch 

 s = veranlassten Wertlisysteme von ip eine Anfrage an die höheren Variationen des Integrals, um aus der 

 Eigenschaft ihrer Wertlisysteme die Gewissheit zu erlangen, ob der, in Folge der nicht verschwindenden 

 Wurzeln angehoffte Zustand von @ sich auch in Bezug auf die durch s = veranlassten Wertlisysteme von <p 

 bewahrheitet oder nicht. 



Die Annahme A = A t =...=■ A k ^\ = 0, A,^0 setzt voraus, dass in dem CoSfficientenquadrat (10) 

 g. 3, aus welchem die Determinante V„ hervorging, theils einander Glied für Glied gleiche oder propor- 



tionirte, theils Glied für Glied verschwindende Horizontalreihen , theils endlich solche Reihen vorfindig sind, 



(15") 

 welche einer gliedweisen algebraischen Summirung von mehreren anderen mit gewissen Zahlen multiplizirten 



Reihen ihr Dasein verdanken. In weiterer Folge setzt diese Annahme voraus dass, für* = die Gleichungs- 

 systeme (5), (6) §. 3 in Bezug auf die Bestimmung der Unbekannten <pj, ty 2 ...^„, s y , s z ...s^ sich äquivalent 

 stellen einem Systeme von blos fx-t-v— // Bestimmungsgleichtingen, in welchem nach Ausscheidung derjenigen 

 Verticalreiben von Coefficienten, welche den ausgeschiedenen Horizontalreilien entsprechen, ein Quadrat von 

 (jum-v — A) Horizontalreilien und ebenso vielen Verticalreiben zurückbleibt, welches eine nicht identisch ver- 

 schwindende Determinante liefert. Angenommen, dass die auszuscheidenden Verticalreiben den Functionen 

 ip, , -^ 2 . .-]>,, entsprechen, so kann man mit Hilfe des übriggebliebenen Gleichungssystems die Functionen 

 i|/ A+ i, •^ h+ -,...-! t i v . .-,, .- 2 ...* v als lineare Ausdrücke der £,. ty t ...ty\ ausdrücken, und in den Variation smodul D 

 einführen, welcher dann nach ip, , <p 2 ... tyn geordnet, sich etwa in folgender Form hinstellt 



D = (J>[ ^+D; ^-+- . . . +i>; ± h ) : N' = D': N (16) 



sobald man die oben erwähnte identisch nicht verschwindende Determinante mit N' bezeichnet. Hierbei sind 

 ip,, A 2 . ..-£,, als willkürlich anzusehen, weil die Ableitung des Resultates (16) von der in (31) §. 2 stipulirteo 

 unabhängig vor sich ging, und weil in den Gleichungen (5) in Folge s = jede Spur verwischt wurde, welche 

 auf eine Abkommenschaft dieser Gleichungen aus der Relation (31), §. 2 erinnern könnte. Für die Zukunft 

 bleibt uns daher unbenommen, zwischen den nun willkürlichen Functionen -p v -^...-p,, irgend eine neue den 

 TJntersuchungszwecken entsprechende Relation zu stiften. 



Auf Grand der Annahme (14) hat man zum Behnfe der Bildung der höheren Variationen von © folgende 

 Relationen: 



(17) 



M 3 = -j^-, M„ = -__,... Jf x _ 



(18) 



6^" 



Wenn J/ 3 nicht identisch verschwindet, so findet weder ein Maxiinun di ein Minimum statt. Ist jedoch 



neben A/.. = 0. M k nicht idendisch Null, so wird ein erweislieh constant negatives oder positives Vorzeichen 

 von M.^ . A, A 2 ...A,. auf ein Maximum beziehungsweise Minimum des in Untersuchung stehenden Integrals 

 hinweisen. 



Verschwinden mehrere M nach einander identisch, und ist das erste nicht verschwindende M ungerad- 

 bezeigert, so findet weder einMaximum noch ein Minimum statt. Ist jedoch das erste, nicht identisch verschwin- 

 dende J/geradbezeigert, etwa M ix ^0, so wird ein Maximal- oder Minimalzustand des vorgelegten Integrals 

 nur angehofft. Oh thatsächlich ein Maximum oder Minimum stattfindet oder nicht, hängt bekannterweise vom 

 Erweise ab, ob der Ausdruck M 2k im vorgeschriebenen Veränderlichkeitsgebiete der Variablen x und der 

 willkürlichen Functionen ty ein entsprechend constantes Vorzeichen beurkundet oder nicht. 



Vor Allem steht es uns frei, zwischen den Argumenten -i, . i,...y, irgend eine Relation zu stiften; setzt 

 man nun : 



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