44 



Lorenz Zmurk 



Um eine für die spätere Handhabung bequemere Form irgend einer etwa der xten Variation Ö*@ zu 

 gewinnen, sei 



8 7 +-A 7 h- S -Z - =f) 



dU "' 



'.*&* 



"• rf&s 



(3) 



so ist bekanntermassen für 



a,-i— « a — i-a 3 H— . 



die Relation 



(4) £ 



O«, sc 2 ...«;, 



o' 333 



- m m,i t ».. 



die symbolische und wirkliche Besrimmungsgleichung der xten Variation von SB in Bezug auf die Func- 

 tion U m und ihrer bis zum Range n m = [m i ] = [m^] = ...:= [m^J reichenden Differentialquotienten, sobald 

 man den Buchstaben s, . a 2 ...a„ alle möglichen der Gleichung (3) entsprechenden Werthe beilegt, und 

 diese Werthsysteme zur Bildung der Summe (4) verwendet. 



Für 



(&) 



D = J,+? 2 + D 3 ' 



-£,. 



erhält man zur Bestimmung der x.ten Variation von SB in Beziehung auf sämmtliche Functionen U v L\...l'., 

 und ihre bis zu den Ordnungen w, , «.,...«,, reichenden Differentialquotienten folgende Gleichung : 



(6) 3* SB = y A £* SB. 



Auf Grundlage der osculatorischen Substitution * 





(8) 



O m .VW" W 



tAja tAj m t*-Q ^-"Q 



erhält man vor Alle 



Hl 



(9) 



(10) 

 (11) 



(12) 



A, 



c/w 



W = 2;; TT ?i> , 



</" i sin n «> 10) 



dw n 



fm =% 



An m< = s <p m ( »w« -=— I , wenn | w,J = n m ; 



liiemit 



©* = i <P„ 



</r„, 





"'s 



ihi\. 



>"",„ — 

 d i ',„ ,„ - 1 o6- . 



, r/?r ; 



= «*.!? 



und schliesslich 



S = « f/),^, -+- /) 2 -^ + ...D /x -^] - Dt 

 rjx jß = P" ;'! z>« sb = PÜ f M y ; M, = />' SB. 



x ; x ! 



Hieraus ergibt sich die in Folge osculatorischer Substitution reducirte Gestalt der xten Variation von © 

 in folgender Form : 



(13) 





x! 



(/.!■, .(/.e,._| . . . (/.C 2 r/.'-j E* M x . 



Um der folgenden Untersuchung die möglichste Allgemeinheit zu wahren, nehmen wir an, dass in der 

 Gleichung (1) // Anfangscoefficienten durch identisches Verschwinden die Relationen 



* Damit die in Folge osculatorischer Substitution vernachlässigten Bestandtheile irgend eines Gliedes der in der vorigen 

 Abhandlung in Verwendung genommenen Taylor'schen Reihe nicht Überhand gewinnen über ihre späteren Glieder, und 

 liieduieli die Beuitheilung der Nachbarwerthe nicht zu trüben vermögen - setze man zwischen den Grössen p und n die 

 jedenfalls erlaubte Relation plogn=l fest, weil liiel>ei neben dem sein- gross gedachten n die Grösse p noch immer sehr 

 klein ausfällt. 



