650 W. Ebert, 



Wir setzen diese Werte in (10) ein und lassen auf der recliten Seite den Term in z'.'J weg. Dann folgt 

 leicht: 



sin / 



--3i V -'83 V + 32-^^'2 sin h., cos '\ 

 sin'yiKi)-„ 



- ^ ^ \ Ro—Ro sin /;, cos 4 \ +cos vä'., sin -L sin //„ 

 2(2?2 sin (1^)3 ■ ■ f. . r 



(13) 



Wir setzen nun zunächst: 



und weiter: 



./" cos A" - E" 



a" sin A" zu R., sin h., sin 'Jj 



Dann wird (13): 

 wobei: 



. „ sin 'h sin ]t.,R.^d-,\)-„ 



— sin^'y cos y = — " . 



■ 2 (A', sin '{-)3 



— = V,, -^ = V3, 



£^' =: ^o — -^2 ^'^"^ ^'l' ^*^^ 4^ 



C-" cos C" = E"~E" 



c" sin C" = R2 sin /z^ sin -i*- 



(14) 



(15) 

 sin (/— C") = h" sin^x sin (■/— ^4"), (16) 



2t-"(/?3sin'}.)ä 2c"(R,sm<!^y 



Die Gleichung (16) ist kaum schwerer aufzulösen'als dieGauss'sche, aber wesentlich genauer. Denn 

 A", das Gauss vernachlässigt, ist nach (15) und (14) von derselben Größenordnung wie h.^, also von der 

 zweiten Ordnung der Zwischenzeiten und kann, wie aus den weiterhin gegebenen Beispielen hervorgeht, 

 auf mehr als 1 ° anwachsen. 



Kennt man nun einmal •/_, so ergeben sich aus (12) zunächst r„ und p.^. Zur Bestimmung von p^ und 

 P3 folgen dann aus (3) (auf alle Koordinatenrichtungen angewandt) und den übrigen Beobachtungsdaten 

 lineare Gleichungen, deren Auflösung keine weitere Schwierigkeit bietet. 



Wir könnten also bereits bei dieser Methode zur Bestimmung elliptischer Bahnen stehen^bleiben. 



Indessen wird man durch die Kleinheit der Bahnexzentrizitäten der Asteroiden darauf hingewiesen, 

 noch weiter zu gehen. 



Wesentlich unterstützt wird man hierbei durch eine merkwürdige Eigenschaft der Gleichung (16) 

 die wir später kennen lernen werden. Sie kann, ohne ihre Form zu ändern, Terme wesentlich höherer 

 Ordnung in sich aufnehmen. 



§ 3. Über die Zusammensetzung des dritten und vierten Differentialquotienten 



einer Koordinate. 



Bei Kometenbahnen kann man, wie wir schon oben sagten, die Annäherung nicht weiter treiben, 

 weil der dritte Differentialquotient einer Koordinate aus zwei Teilen besteht, über deren gegenseitige 

 Größe man in diesem Falle im voraus nichts weiß. Für die kleinen Planeten verhält sich das aber anders, 

 weil hier die Bahn immer mit einer gewissen Annäherung als kreisförmig angesehen werden kann. 



Betrachten wir also hier den Ausdruck: 



so kann man den Term in r' im allgemeinen als kleiner betrachten, als den in z'.,. 



