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Die drei am Ende dieser Arbeit gegebenen B.eispiele bestätigen dieses Resultat. 



Wenn man die bei der von mir gewählten Anordnung am Schlüsse der Rechnung erhaltenen 

 mittleren Anomalien mit der vorher erhaltenen mittleren Bewegung auf eine und dieselbe Epoche 

 reduziert, so fällt 71/g stets außerhalb des Raumes zwischen M^ und M^. BeiVanadis wiederholt sich diese 

 Erscheinung auch in der zweiten Hypothese. Wäre die Formel (59) für j? ganz strenge, so müßten Afj 

 und A/g, auf dieselbe Epoche reduziert, zusammenfallen. 



Der Umstand, daß M.^ bei allen Beispielen außerhalb des zwischen M^ und M^ eingeschlossenen 

 Raumes fällt, beweist, daß auch rechnerisch die in (59) begangenen Vernachlässigungen von geringerem 

 Einfluß auf das Resultat der Bahnbestimmung sind als die übrigen in unserer Methode enthaltenen. 



9. Ableitung der zur Rechnung erforderliehen Hilfsformeln. 



Zur rechnerischen Anwendung ist jetzt vor allem noch zweierlei erforderlich: die Aufstellung 

 geeigneter sphärischer Formeln für die geometrischen Hilfsgrößen und ein möglichst einfaches Verfahren 

 zur Bestimmung der äußeren heliozentrischen Orte aus dem mittleren. 



Wir behandeln diese Aufgaben gleichzeitig für Äquator und Ekliptik als FundanTentalebenen, um 

 nicht wesentlich dasselbe zweimal vorbringen zu müssen. Wir bezeichnen wie bisher jede Größe mit dem 

 Index 1, 2 oder 3, je nachdem sie der ersten, zweiten oder dritten Beobachtung entspricht. 



Für den Äquator seien X, Y und Z die rechtwinkeligen Koordinaten der Sonne. Für die Ekliptik 

 seien die Sonnenlängen, L ^ 0+180 die Erdlängen, R die Abstände Sonne — Erde. Ferner seien p die 

 Abstände Planet — Erde und r die heliozentrischen Radii-Vektoren des Planeten. Mit a und 8 bezeichnen 

 wir die Rektaszension und Deklination des Planeten, mit X imd ß seine Länge und Breite. 



In unserer Methode werden nur sieben geometrische Hülfsgrößen gebraucht: Zunächst muß der 

 durch erste und dritte Beobachtung hindurchgehende größte Kreis definiert werden. Dies erfordert zwei 

 Hülfsgrößen: / die Neigung und K den Knoten desselben (siehe Fig. 4). Diese Größen werden bekanntlich 

 für die Ekliptik durch folgende Formeln definiert: 



tg/sin(Xj-A') = tgß, \ 



tg /cos iK-K) = tgß.cos(X X) tgß3 



sm (Xj— X3) l 



Kontrolle: tg ßg = tg/sin {\—K). 1 



Für den Äquator haben a und 5 statt X und ß einzutreten. 



Hierdurch sind auch die Richtungscosinus der Normalen senkrecht zu diesem Kreise bestimmt. Wir 

 beziehen dieselben auf ein rechtwinkeliges Koordinatensystem, deren +.ir-Achse nach dem Frühlingspunkt 

 zeigt und dessen +j'-Achse senkrecht hierzu in der betreffenden Fundamentalebene liegt, und zwar nach 

 der Seite der wachsenden Rektaszensionen oder Längen. 



Die z rechnen wir positiv nach Norden. Die nördliche Normale zu dem soeben definierten größten 

 Kreise bildet mit der +3-Richtung offenbar den Winkel /, da / andererseits die Neigung dieses größten 

 Kreises gegen die Fundamentalebene xy (Äquator oder Ekliptik) ist. Demnach ist der Richtungscosinus j 

 zwischen der nördlichen Normalen A' und der +r-Achse: 



cos (sA/^j 1= 5 ^ cos /. 



Ferner ist die Projektion der Normalen auf die ,r_v-Ebene (Äquator oder Ekliptik) gleich sin /(ihre 

 Länge gleich Eins vorausgesetzt). 



Die Projektion des Endes der Normalen auf die .rjv'-Ebene A'' steht aber vom Mittelpunkte der 

 Himmelskugel um sin /ab. Fällt A' in den ersten Quadranten, so liegt A" im vierten (vergleiche die 



