114 D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE, ETC. 



prenons /* (z) pour f{z) et écrivons danê les seconds membres 

 les dérivées sous les dérivées du même ordre dans la formule 

 primitive 



H- _ /^^ /v (a?) + _L à-' fyi (a;) -f- J_ â^ fyu (x) + 

 24 ^ ^ ^ 120 ^ ^ 720 ^ ^ ^ 



H- l_/^yvIII(a;)+__l__/,8/'Ix(^)4_ ^ — /^ Yx(a,)^... 



5040 ^ ^ ^40320 ^ ^362880 ^ ^ ^ 



1 /,2^-l/'2^(^)+^_^^2/^/2^4-l(^)-f....(AJ. 



1 2/t ■— 1/1 1 2/{:/l 



Pour éliminer au second membre /"(^); multiplions (AJ 

 par -j- /^ , et soustrayons ce produit de (A) : il vient 



24 / ^ ^ gQ «/ w 720 ^ ^ ^ 2016 '^ ^ ^ 

 ^ -h\piii{x) l—^h^fi^[x) L— Al /x(^)_... 



13440 " ' ' 103680 "^ ' ' 907200 



_^-I"Jl/^2^/2^(^)__^Zli- ^2^+ 1/2/^+1 (^)__ . . . (1). 



De même dans (A) on peut prendre /„(-s) pour/(^), et écrire 

 ensuite les dérivées de même ordre l'une sous l'autre 

 /Il {oc, H- h) — /" (x) = /i/ni (x) + 



720 '^ ^ ^ 5040 "^ ^ ^ 40320 ^ ^ 



+ _i h^&-2/2/c(x)-\—^ A2^-l/3^ + l(:r) + ...(AO. 



Cette équation doit servir pour éliminer / "^ (rr) : multiplions- 

 la à cet effet par — h"^ et ajoutons la somme à (1): nous 



