D. BIERENS DE IIAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE, ETC. 115 



voyons tout de suite qu'alors /^^ (x) se trouvera être éliminée en 

 même temps, et nous aurons 



+ _L^V^"W+ — 1— /tVviii(^)+ — î: — h^ f^^(x) H- 

 5040 -^ ^ -^24192 ^ 145152 ^ ^ 



^ /,ioyx(^)'4_.... 



1036800 



(A-— lj-)(A;— 2) /^2^^2^(.^)+ (^zlX^zlil A2^+im-i-i(^)+...(2). 

 12/^/1,3 ^ ^ 12/^+1/1.3 ^ ^ ' ^ ' 



Vient le tour d'élimination de la fonction f^ {x)] alors il faut 

 changer dans (A) f{z) en /^"^{z), et écrire encore les dérivées 

 au-dessous des dérivées de même ordre dans (2) : 



/i^ {x + h) — /iv {x) = A/v (x) + - /i 2 /• VI (^) 4- 



+ i /^8 /VU (^) _|_ i_ /i4 /-viii (^) 4- A V^ W H- 



6 24 120 



720 ^ ^ 

 -h ^- h^k- 4.f2k(x) + ^ h^k-ZfU^i (x)-^ ,., (A3). 



Multiplions ce résultat par h^ et soustrayons le produit 



de l'équation (2) ; alors non-seulement p' [x) est éliminée , mais 

 il en est de même pour /vi {x) , et nous parvenons à la formule 



\f{x^h)~-f[x) I -\h \f[x^h)-p{x) \ -H-Ia^ \fu(^x^h)-r^{x)\-^ 



_ __L /i^ I/IV [x + ]l)—f^ (x) I = hfl (x) L- h'7fvu (x) — 



_ h^f^m(x) 11-- h^p^ixY ^ h^ ^/H^)-"' 



60480 ^ ^ 3628800 ^ ^ 1036800 *^ 



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