D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE, ETC. 117 



soustrayons le produit de (4) ; la dérivée suivante /^ (x) est 

 éliminée en même temps , et l'on trouve 



\/lx+h)-f{x)\-h\/^{x+h)-/^{x)\+^h'' \fu^x+h)-P^{x) I- 



720 û0240 



1209600 J J \ js 



(^-H)(^-2l)(^^3|)(^-4j)(/^-5) (/r+2)(P H-^+8) ^,,,,, 



■^ I3>è/i. 3. 5. 7. 9. 5 ^ ^ 



(A--l)(^--2)(^-3A0(^-4)(A-4i)(^+2i)(^^+2^H -8|)^^,,^i ,,^,. 

 + 12/^+1/1. 3. 5. 7. 9. 5. ^ ^ '"^ ^' 



3. Tirons de ce résultat les termes sans facteur h , et ceux qui 

 ont la première puissance de h en facteur : 



\nx+h)-f{x) i -h j/i {x-^h)-t-nw) j =-^h' 1/" (^H-^)~/"(^) ! + 



720 ' ' ' ' '' 30240 



+ ^ A» l/vni(^ + A)— /viii(a?)| — (6). 



1209600 î-^ ^ ^ ^ ^ ^' ^ ^ 



Le second terme au premier membre se trouve contenir la somme 

 des dérivées premières de/ {x + h) et àef{x). Donc, par la méthode 

 du N". 2, il est possible de réduire la différence de deux dérivées 

 de même ordre à une somme de deux dérivées d'un même ordre, ce 

 dernier ordre étant plus haut d'une unité. A cet effet changeons dans 



cette formule {Q)f{z) en/^^ {z) , et multiplions le résultat par y^ ^^ 5 

 ce produit étant soustrait de (6) donne pour reste: 



\Ax+h)-f(z)\-h\fix+h)+f(x) I -^Ih^ |/m(a;+A)+/"i(rr) ! = 



1^0 d72U 



+ - ^^ h^ If^^^Ux -\- Jù—f^^^Ux)] — (7). 



3628800 ^ y / V ;! 



