p. SCnURlNGA. LES TRAJECTOIRES MINIMA^ ETC. 



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de fixer l'attention sur les équations indéfinies et les équations aux 

 limites. C'est spécialement l'excellent ouvrage de MM. Moigno etLin- 

 delof qui a prêté ici sa notation claire et ses théories achevées. 

 Ces principes établis, j'aborde le problème actuel, en le considérant 

 comme une question analytique de minimum relatif, revenant à 

 la recherche d'un minimum absolu , dans laquelle la fonction V sous le 



11 ^ ._•/_ _j_ 1"1 1 ) -I- 



ds'^ ds- ds'^ ' 



/J'Y {x , y , ::•), où X et /' signifient des fonctions indéterminées de 

 la variable indépendante s ^ tandis que F =: est l'équation de 

 la surface. En substituant cette valeur de V dans les formules 

 rappelées au début je trouve aisément , après quelques transforma- 

 tions , pour les équations des trajectoires minima sur une surface , 

 dans le cas général: 



dv dv dx"! , .d'^x 



ds ds _\ 



l^dx 



dF 



[A] 



ds' 



d^y 

 ds'- 



dF 



dy 



dv dz 



ds ds 



, . . rdv dv dz~i . -, 



î_dz as ds J 



d 



2 .- 



ds^ 



dF 



\ T. \ 



Ce sont les mêmes qu'a trouvées M. Eoger. D'elles résultent 

 pour les trajectoires minima absolues (c'est-à-dire dans l'espace 

 libre) les trois équations qu'on obtient en égalant à zéro les trois 

 premiers membres de [A]. Enfin, en traitant v comme fonction 

 immédiate de s , on trouve la ligne droite comme solution singulière 

 absolue, indépendante de g,. Les équations [A] n'ont été trouvées 

 qu'après l'intégrale ç, {v) — 2/ = K, K étant une constante, qu'on 

 reconnaît ensuite s'annuler en vertu des équations aux limites , dans 

 le cas général où la longueur de la courbe n'est pas donnée. Par 



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