4 p. SCIIURTNGA. LES TRAJECTOIRES MINIMA ^ ETC. 



conséquent^ l'équation précédente se réduit à celle-ci : 2/- zzr g, (u) ^ 

 dont la substitution dans le résultat d'une combinaison singulière 

 des équations indéfinies donne naissance à la relation remarquable : 



V 



[B] Rcos 0) := — -- cos _ 



— <pW 



(> V (p^ (v) 



V 



Ici R cos co et — — cQg signifient les composantes latérales de la 

 Q 

 résultante R du système donné de forces et de la force centri- 



fuge — — f 0) et * étant les angles que les directions de la résultante 



et du rayon de courbure q font respectivement avec la normale 

 latérale. La relation [B] fait connaître le théorème : que ces deux 



(p (v) 

 composantes sont entre elles comme est à (p' (v). Ce rapport de- 

 vient très-simple pour quelques trajectoires particulières. Par exem- 

 ple , pour les géodésiques , on peut avoir (p {y):=:c , par conséquent 



[B] donne — — cos a» ziizO^Qi cos ^> = , résultat connu ; pour les 



lignes de niveau, on a (p [v) zz: Oetgo^ (v)z=:0: dans ce cas le 

 rapport des deux composantes devient indéterminé. Pour les 



trajectoires naturelles ^ (f (v)z=v donne — — cos tp z= — R cos oj ; 



1 v'- 



et pour les hrachistochrones , cp (v)=r:-,ona — — cos(1)Z=z1^cosm. 



donc, pour ces deux dernières, les deux composantes sont égales 

 entre elles, mais elles sont dirigées en sens contraire dans les 

 trajectoires naturelles , et en sens égal dans les brachystocbrones. 

 Ces deux propriétés ont déjà été reconnues par Euler. 



Un théorème analogue subsiste pour les trajectoires minima 

 absolues, pourvu qu'on prenne à la place du plan tangent un plan 

 qui passe par le rayon de courbure , et qu'on considère par con- 

 séquent ce rayon comme ,,normale latérale." Lorsque q.^ [v) 

 n'est pas 0, ni vzizœ, la résultante R se trouve aussi toujours 

 située dans le plan osculateur de la trajectoire absolue, comme 

 je le démontre de suite, 



