p. schuringa. les trajectoires minima, etc. o 



La discussion des termes aux limites est une des plus impor- 

 tantes dans ce problème, comme dans toutes les questions de 

 maximum ou de minimum. Premièrement, si la longueur s.^^ — s^ 

 est donnée (trajectoire isopérimètre), la constante K ci- dessus 

 n'est pas nulle, et cette circonstance ne modifie que légèrement 

 les résultats précédents. Ensuite, si dans ce cas q, est indétermi- 

 née, ou si <r(^v)z=zc (les géodésiques) , on a les deux théorèmes 

 de Gauss relatifs aux géodésiques et au cercle géodésique. Ces 

 conclusions ne subsistent pas pour les lignes de niveau, parce 

 qu'à différents individus de ces courbes répondent différentes formes 

 de cç. En second lieu, quand la longueur ^2 — *i i^'^st pas don- 

 née, si la limite inférieure se déplace le long d'une courbe ou 

 d'une surface normales à la trajectoire, le minimum subsiste lorsque 

 la limite supérieure se déplace également suivant une ^trajectoire 

 orthogonale." Cette condition de déplacement orthogonal n'est cepen- 

 dant pas nécessaire. Dans le cas des hrachislochrones , si les cir- 

 constances initiales restent invariables, pour acquérir la même 

 vitesse dans différentes trajectoires, les points terminaux doivent 

 se trouver sur une même courbe orthogonale à toutes les trajec- 

 toires. La démonstration de ce théorème paraît exiger la méthode 

 synthétique, dont effectivement Euler et M. Bertrand se sont 

 servis dans ce cas; du moins j'ai réfuté la démonstration analy- 

 tique de M. Roger (t. XIII du Journal de Liouville) , qui suit la 

 marche de Gauss pour les géodésiques. En général , je nie la pos- 

 sibilité de tirer des termes aux limites aucune conséquence, 

 ayant rapport aux temps dans le problème actuel, si la courbe 

 doit se trouver sur une surface donnée, et que la fonction des 

 forces n'est pas connue. 



Le second chapitre de ma dissertation s'occupe des forces, pour 

 la plupart dans le plan normal de la trajectoire, qui agissent 

 sur le point matériel. La considération de la pression latérale D , 



qui est la somme des deux composantes R cou m et — — cos <ij , me 



conduit à la décomposition de toutes les forces dans trois direc- 

 tions orthogonales entre elles , savoir : la direction de la tangente 



