8 p. SCHURINGA. LES TRAJECTOIRES MINIMA, ETC. 



désigne (p (v)-=c comme caractéristique pour la géodésique, et 

 fait deux trajectoires différentes de celle-ci et de la ligne de plus 

 grande pente, considérée comme l'enveloppe des projections de la 

 résultante dans le plan tangent. Au contraire, je démontre l'ù/e/i- 

 tité de ces deux lignes. Après avoir rappelé les différentes équa 

 tions de la géodésique, ainsi que les expressions de son rayon 

 de courbure ; j'arrive à d'autres solutions singulières , en ayant 

 égard aux lignes de niveau, définies comme les intersections de 

 la surface donnée avec les différentes surfaces de niveau. Ces 

 lignes satisfont aux équations [AJ , indépendamment du moins de 

 la forme de ^p, et j'en cite quelques exemples. 



Pour ce qui regarde les autres trajectoires minima, elles se 

 caractérisent d'une manière déterminée par la forme de gp. D'après 

 cela, les géodésicjues , ou lignes de plus grande pente, et les lignes 

 de niveau se présentent comme des espèces singulières , les premières 

 dans un sens tout à fait général. Au contraire, les autres trajec- 

 toires minima paraissent être autant d'espèces particulières , dont 

 la surface donnée détermine la classe, et dont le système donné de 

 forces caractérise la famille, tandis que Id forme de (p fait connaître 

 V espèce, et que les limites déterminent V individu. Les trajectoires 

 naturelles formant un groupe distinct, c'est ici que, parmi les trajec- 

 toires gênées, j'examine encore généralement les hrachistochrones. 

 Une des propriétés les plus intéressantes de ces dernières, 

 consiste en l'égalité des deux composantes de la pression latérale. 

 Une autre propriété remarquable , également connue de la brachi- 

 stochrone , dans le cas de la pesanteur , c'est que la longueur du 

 rayon de courbure est égale à deux fois celle de la projection 

 de la normale latérale dans le plan osculateur, si l'on prolonge 

 cette projection jusqu'au plan de niveau du point de départ. 



Le quatrième chapitre est consacré à l'étude spéciale des trajec- 

 toires naturelles et du principe de la moindre action. Dans ces 

 trajectoires on a DnrO, et réciproquement si l'on pose D =: 

 dans les équations 1), la comparaison du résultat aux équations 

 [A] donne ff (v) z=z c. C'est là une nouvelle démonstration du 

 principe de la moindre action, pour le cas d'un seul point. Ce 



