p. SCHURINGA. LES TRAJECTOIRES MINIMA^ ETC. 9 



principe fait eusuite le sujet d'un coup d'œil historique, dans 

 lequel sont signalés les mérites d' Euler et de Lagrange. La dé- 

 monstration générale de ce dernier précède la remarque que y jusque 

 là; l'analyse pouvait assurer , qu'il y a maximum seulement ou 

 minimum. A cette occasion je n'ai pas pu m'empêcher de repro- 

 duire l'ingénieuse démonstration du minimum réel, dans le cas 

 des liaisons incomplètes, due à M. J. A. Serret '). Cette démonstra- 

 tion, d'après la métliode de Jacobi, dépend en dernière instance 

 de la théorie des déterminants; sur rapplication de laquelle 

 j'ai jugé utile d'ajouter quelques mots de développement. Quand 

 on a des liaisons complètes, comme dans le cas des trajectoires gê- 

 nées, alors n — IzizO, si n signifie ce qui reste du nombre des 

 cordonnées après la soustraction de celui des liaisons, et de là 

 résulte , suivant la démonstration de M. Serret , que dans les trajec- 

 toires gênées r„action" ne saurait être minimum. Quoiqu'on puisse 

 réduire ces trajectoires à des trajectoires naturelles, en altérant 

 essentiellemenl le système des forces données, la distinction de 

 maximum ou de minimum dans les trajectoires gênées elles-mêmes 

 reste encore impossible. Néanmoins, cette indécision ne change rien 

 à la certitude des propriétés de ces courbes , trouvées ici , et dé- 

 duites des formules [A], [BJ et [C]. Du reste , on peut assigner' 

 les valeurs géométriques extrêmes , entre lesquelles les limites de 

 l'intégrale doivent être comprises pour qu'en général un maximum 

 ou un minimum soit possible. En effet, si toutes les trajectoires 

 d'une même espèce et partant d'un même point ont une enveloppe , 

 je démontre que le maximum ou le minimum sera impossible, 

 si l'autre extrémité de Iti trajectoire se trouve au-delà du point 

 de contact avec l'enveloppe. Ce résultat général a déjà été trouvé 

 par Jacobi pour les trajectoires naturelles. 



Enfin mon dernier chapitre traite de quelques familles plus 

 importantes de trajectoires minima. D'abord se présentent les 

 trajectoires minima absolues, décrites sous l'action d'une force 

 centrale, — lesquelles sont toujours situées dans un plan, dans 



') Comptes rendm de l'Ac. des Se, 12 et 17 Juin et 31 Juillet 1871. 



