10 p. SCHURINGA. LES TRAJECTOIRES MINIMA , ETC. 



lequel les secteurs , parcourus par les projections du rayon vecteur 

 dans l'unité de temps, se trouvent être en raison du quotient 



V 



~~r\ . La géodésique , espèce singulière , devient ici la ligne droite 



passant par le centre de force ; pour le cas de l'attraction uni- 

 verselle ; il est aisé de démontrer la propriété trouvée par Laplace : 

 que les temps employés à parcourir une longueur donnée sont 

 égaux dans le cas général du mouvement elliptique et dans le 

 cas singulier du mouvement rectiligne. Du reste je m'attache à 

 l'opinion de Laplace, que le point matériel, après avoir atteint 

 le centre d'attraction, s'en éloigne au-delà à une distance égale 

 à celle de laquelle il était venu. Des espèces particulières de cette 

 famille de trajectoires minima, les plus remarquables sont celles 

 qui se caractérisent par la formule ç (v) ■=. v"\ m étant un nombre 

 positif ou négatif. Dans ces différentes trajectoires, les secteurs 

 décrits par les projections du rayon vecteur dans l'unité de temps 

 sont entre eux comme les puissances (m — l)-ièmes des vitesses , 

 tandis que celles-ci sont en raison inverse de la longueur de la 

 perpendiculaire abaissée du centre des forces sur la tangente. 

 Enfin la substitution (p (v) •==. v'"' dans la première des formules 2), 

 donne : 



1 v'^ ■ v^ m — 1 



3) D» := , donc D:=— 



'^ m i> o m 



Les espèces les plus importantes de ce groupe sont: V les 

 trajectoires naturelles centrales, m rz: 1 : ici se rangent les orbites 

 planétaires et cométaires; et 2° les brachistochrones centrales , 

 m=z= — 1. On trouve aisément ce que deviennent pour toutes deux 

 les théorèmes énoncés plus haut et les formules 3). 



Ensuite j'examine les trajectoires minima absolues sous l'action 

 d'une force d'intensité et de direction constantes. Dans ce cas, où 

 la fonction des forces est connue, je cherche encore à part les 

 conditions du minimum, et je trouve une relation correspondante 

 à la formule [B]. Une démonstration générale apprend ensuite 

 que ces trajectoires, comme les précédentes, sont toujours situées 

 dans un plan déterminé. La considération des termes aux limites 



