p. SCHURINGA. LES TRAJECTOIRES MINIMA, ETC. 11 



fait voir que le minimum subsiste: 1" lorsque l'extrémité de la 

 courbe se déplace le long d'une .,trajectoire orthogonale", la posi- 

 tion et la vitesse initiales étant données; 2" lorsque les tangentes 

 aux deux courbes limites dans les extrémités de la trajectoire 

 sont parallèles. Si dans ce dernier cas la vitesse initiale seulement 

 est donnée, il faut en outre que les deux courbes limites soient 

 normales à la trajectoire. Après avoir fait mention des espèces 

 singulières, j'examine de plus près, comme dans la familUe précé- 

 dente, le groupe des espèces particulières qui se caractérisent 

 par la formule fp [v] ■=. v'"' , m étant positif ou négatif. Ces trajec- 

 toires ont pour équation différentielle : 



dz r(z — A\"' ~1 ¥2 



4) T.= \\—a-~) -M ' 



OÙ a signifie une constante et h la valeur initiale de l'ordonnée 

 z qui correspond à la direction de l'accélération. Les courbes 

 contenues dans cette équation ont des propriétés remarquables; 

 en efîet , elles ne sont autre chose que ces courbes trochoïdales , 

 décrites par le pôle d'une des courbes dont l'équation est en 

 coordonnées polaires, pour ce pôle: 



m 



5) r»n- 2 cos ^ 6 = awi + 2 ' 



^ m -4- 2 



lorsqu'elles roulent sans glisser sur l'axe des x. La démonstration 



en est facile. Si donc un point pesant décrit, sous l'action de la 



pesanteur, une trajectoire minima pour laquelle (p (f) zm''", alors 



une courbe 5), dont l'équation se rapporte à ce point-là comme 



pôle, roule sans glisser le long d'une ligne droite horizontale , — 



et réciproquement. De . cette considération des trochoïdales 4) , 



comme trajectoires minima, dérivent plusieurs propriétés de ces 



courbes, comme celles de donner des forces centrifuge et déflec- 



tive en raison inverse de la puissance m-ième de la vitesse, et 



m 

 une pression latérale en raison inverse de la puissance ^ -ième de 



l'ordonnée z. Les quatres cas d'intégrabilité de 4), savoir ceux 

 demz= — 2, 2,1 et — 1, donnent respectivement comme espèces 

 particulières de cette famille , les courbes connues : cercle , chaî- 



