D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUK LA QUADRATURE, ETC. 119 



4. Dans les applications des équations (1) à (5) on n'emploie que 

 le premier terme du second membre ; le terme h/^ (x). Calculons 

 l'erreur que l'on fait de cette manière, et écrivons le théorème 

 de Taylor ainsi : 



-f-L/^Vn^)+^|J fk+^^^^c){h--^c)kclu', (B) 



maintenant on peut répéter les réductions du N^ 2. 

 La correction peut s'écrire sous la forme 



fk-\-\ ^x + u) (f {h — il) du (a). 





Dans le cas où la fonction (p {h — u) est toujours du même 

 signe, pour les valeurs de u situées entre les limites d'inté- 

 gration <:u ^ hy on peut la transporter hors du signe de 

 l'intégration, pourvu qu'on en prenne une valeur moyenne , c'est- 

 à-dire que l'on peut écrire au lieu de {a): 



M[q^{h-u)].[ f^+^x-hu)du=:M[cp{h—u)].\p{x^h)—f&{œ)\.. (6). 



Afin de trouver cette valeur moyenne, cherchons les valeurs 

 de II qui donnent à <p [h — u) une valeur maximum , et résolvons 

 à cet effet l'équation 



cp' {h-~u)z=0, (c) 



dont les racines comprennent les valeurs cherchées ; puis cal- 

 culons le maximum lui-même et multiplions ce résultat par ^, 

 où l'on a (0 < ^ < 1). 



Au contraire, dans le cas où /^+ ^ (^r H- u) conserve toujours le 

 même signe entre les limites et A de i« , on remplacera [a) par 



fk + 1 {u -i-Oh).(\(h — u)du', {d) 



•'o 



et par conséquent on n'aura qu'à effectuer la deuxième intégration. 



