120 D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE, ETC. 



Par cette voie l'on obtient au lieu de l'équation (1): 



\f {X -h h) --■f{x)\—\ h i/i {X + h) — /i {x) \ — hr H = 



1 C^ 

 = ô I \ij^ — u) — h\ {h — u) /i" {x + u) du . . . (P). 



Ici la fonction 



ç> {h — w) = 1 (/i — II) — h\ {Il — II) = — u (h — u) 



est toujours négative ; pour le maximum on a la condition 



(p' {h — u)=z2 {h — u) — hz=h — 2 iizzzO, d'où i/ = i A ; 



donc pour le maximum lui-même : — \h ,^h^ — \h'^. C'est 

 ainsi que (P) devient 



ou de même suivant (d) 



= ^ ^"' {x-\-dh).\ \i^h— uY — h {h — u)\ du =Z 



2 ^(3^ 2 'g ~" 



1 

 = —:^h^r'^{x + eh) (l'^). 



De la même manière on déduit de (2): 



\f[x^h)-f{x)\-^h\r[x-^h)^f\x)\ + 



+ -3^ /^' I /" (^ + h) -/" ipo) \ --- /^/I [x) = 



\ Ç^ 1 



~ 24] i (^— ^)^ — 4. ^(A— t^/t+Zi') ! {h—uyp{x+u)du . (2«). 



Ici l'on a 



cp{h — u)=:{h'—u — hy [h — uyz=z \u{h — u)\'' 

 toujours positif; par conséquent on a, pour le même u ^ ^ h, le 

 maximum / 1 v 1 



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Ensuite le dernier terme devient suivant (b) 



