D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE, ETC. 125 



\f(^r.+h)-f{x)\J^h\fi{x^h)^fi[x)\+l^^ \fiii{x+k)-^fin{x)\ = 

 1 c^^ 



1 r^^ 

 =^A [h~u)f^{x-\-ii)dxi\{Ji-'uY-^'^(Jt—ii)''h-\.h''\ . . (7«). 



Ici Ton a 



g) {Il — u) •=. u (/^ — II) \ {/i — u) u -\- h^\y 



toujours positif. Puis pour le maximum 



9' li—u) = — {h—2iC) 1 2 {h-^u) Il -h /^2 j -- , 



qui s'évanouit entre les limites et h pour la seule valeur 

 w = l /i ; ainsi le maximum lui-même sera 



2 2 }2 2 S 16 



Par conséquent le second membre devient selon (b) 



=~ —g/*' offv[x+h)du= gl"^ a à^ \P'\x + h) -/iv (X) i ; . . (7^) 

 OU bien selon {d) 



= Y/'^^'^'^'')^hh'\ = ^^' f (^ + » ^') ■ ■ ■ in 



Cherchons de même la correction de la formule (8). Diminuons 



1 

 la valeur (3") de — à"^ fois (2'*), après y avoir changé /(^) 



en /n (s) ; et ajoutons à cette difféi'ence le produit à'' fois 



(6»), où/(^) a été changée en/iv(2). Il rient alors: 

 \/la;+i)—/(x) I -h \/i{x + /i)+/i{x) t +l/r^ \/m(x+â)+/ni{x) \ — 



