130 D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA QUADRATURE, ETC. 



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Il s'ensuit de cette discussion que tous les termes à coefficients 

 A^, /^*, à^j h^ disparaissent des corrections, lorsqu'on cherche à 

 en déduire la première forme (7"), (8"), (9"), (10"). Par consé- 

 quent toutes les fonctions (v {h — u) acquièrent le facteur w, et 

 toutes les fonctions g?' [h — u) le facteur [h — 2u) y tout comme on 

 l'a vu au N". 4. Par une autre analogie avec les résultats de ce N°. 4 , 

 on a ici le phénomène intéressant qu'entre les limites et h de 

 u la fonction q) {h,— u) n'a qu'un seul maximum. 



6. L'antithèse que l'on a fait remarquer à la fin du N". 3 

 entre les résultats (1) à (5) du N^ 2 et les résultats (6) à (10), 

 du N". 3, ne se retrouve plus ici dans les corrections de ces 

 mêmes formules, telles qu'elles viennent d'être déduites aux 

 No^ 4 et 5. Dans les deuxièmes, marquées de la lettre ô, 

 on a des puissances paires de h^ multipliées par des différences 

 de dérivées de même ordre des fonctions f{x -f- k) et /{x). Dans 

 les troisièmes formules , désignées par la lettre c , on n'a que des 

 différentielles d'ordre impair de la fonction /(^-f- ^ /^), multipliées 

 par des puissances impaires de k. 



Ainsi nous avons atteint notre but, le développement de la 

 différence / {x -|- h) — / [x) de deux manières essentiellement 

 différentes, et la discussion de la faute que l'on commet chaque 

 fois en s'arrêtant à un terme quelconque , ou de la correction qu'il 

 faut y ajouter dans ce cas. 



Mais maintenant nous pourrons en déduire d'autres formules 

 très-commodes pour la quadrature approchée d'une courbe plane. 

 Pour ne pas devenir trop longs nous ne transformerons que les 

 équations (5) et (10); puisque, pour les autres formules , on trou- 

 verait les résultats en négligeant quelques-uns des derniers termes. 



7. Commençons par substituer dans l'équation (5) successive- 

 ment pour x ; 



